Sophus Lie's 1880 Transformation Group Paper

Description

transl. of Lie's "Theorie der Transformationsgruppen" (1880)

cited in Joël Merker's translation of Lie's Theory of Transformation Groups

Ce volume est le premier d'une série de quatre, dont le but est de présenter sous une forme plus assimilable aux mathématiciens d'aujour-d'hui les principaux résultats de Sophus Lie sur les "groupes de transformations''. Si l'étude de la structure des groupes de Lie est devenue in thème central des mathématiques de notre temps, les éditeurs de cette série considèrant, avec juste raison, que toute la partie de l'oeuvre de Lie concernant les actions différentiables d'un groupe de Lie sur une variété a été beaucoup plus négligée; ils pensent qu'en attirant de nouveau l'attention sur elle ils susciteront de nouvelles recherches susceptibles de la développer et de lui ouvrir de nouveaux domaines d'applications.
La partie centrale de ce premier volume est une traduction (due à M. Ackerman) du mémoire publié par Lie en 1880 dans les Mathematische Annalen, où il détermine (à "similitude'' près) tous les "groupes de transformations'' des variétés de dimension 1 ou 2; il ne s'agit naturellement que de questions locales, et en fait ce que Lie détermine sont les actions d'un groupe de Lie local sur un voisinage d'un point.
Cette traduction est précédée de quatre chapitres rappelant les principales notions concernant les groupes et algèbres de Lie et leurs actions sur une variété, exprimées en termes modernes et accompagnées de leurs traductions dans le langage utilisé par Lie. Les divers chapitres de la traduction du mémoire de Lie sont suivis de commentaires facilitant leur traduction en langage plus moderne. Enfin, dans deux chapitres suivant le mémoire de Lie, R. Hermann indique comment la théorie moderne des algèbres de Lie permet d'aborder les questions traitées dans ce mémoire d'une façon plus simple et plus complète, et peut sans doute s'appliquer à des variétés de dimension plus grande que 2. Un dernier chapitre est consacré aux relations entre la théorie de Lie et la théorie du contrôle.
La bibliographie paraît incomplète: plusieurs ouvrages cités dans le texte n'y sont pas mentionnés, non plus que la série de mémoires de Kobayashi-Nagano sur les algèbres de Lie filtrées. Le volume utilise systématiquement le curieux mot "forward'' dans le sens de "foreword''; est-ce une conséquence de la réforme de l'orthographe anglaise?

Reviewed by J. Dieudonne