Development of Mathematics in the 19th Century: Volume IX, Lie Groups, History, Frontiers and Applications

Description

German original

cited in the references of the historical introduction of Cantwell's Introduction to Symmetry Analysis (pp. xl-xli, PDF pp. 42-43)

mentions Ampère in a few places (& mistakenly thinks Ampère's experiments were mere gedankenexperiments)

mentions Weber passim , even explicitly reproducing the mathematical form of Weber's law (PDF p. 27) in ch. 1, §1 "Applied Mathematics" (PDF p. 10ff.)

Ce volume se divise en deux parties de dimensions comparables. La première, qui couvre 360 pages, est une traduction de l'ouvrage classique de F. Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. C'est une excellente idée d'avoir réédité ce livre, qui pendant longtemps a été le seul sur l'histoire des mathématiques au XIXe siècle, et est encore l'un des meilleurs sur ce sujet; malheureusement, cette traduction n'est accompagnée d'aucun index, ce qui en rend l'utilisation très difficile. La difficulté est d'autant plus grande ici que le plan de Klein est plutôt flottant, un mélange de biographies scientifiques et de chapitres ordonnés par sujets et par époques. Toutefois, cela n'a pas que des inconvénients, et il est certain que cette présentation exempte de pédantisme, sur un ton plus proche de la conversation familière que de l'exposé doctrinal, avec de nombreux apartés où l'auteur exprime ses opinions ou parle de sa propre carrière et de ses travaux, ne manque pas d'un certain charme qui en rend la lecture agréable.
Comme on peut s'y attendre, la partie la plus solide de l'ouvrage est celle qui est chronologiquement la plus éloignée de l'auteur, traitant de la période 1800–1870. Bien qu'écrit sans doute vers 1920 (et publié en 1928), le livre reflète la mentalité d'un mathématicien du XIXe siècle, certainement l'un de ceux dont les intérêts étaient les plus divers et les connaissances les plus étendues, mais qui après 1890 s'était fermé aux nouveautés de son époque. On ne s'étonnera donc pas de voir accorder une grande importance à la théorie des invariants et à la géométrie projective, et à des mathématiciens tels que Steiner, von Staudt, Hesse et Salmon, que nous n'avons plus coutume de placer aussi haut. Par contre, bien que Klein parle de Grassmann avec sympathie, il est clair que, pas plus que ses contemporains, il n'avait compris grand chose à ses idées. Après 1870, l'algèbre et la théorie des nombres n'ont droit qu'à un traitement très sommaire: la théorie des nombres algébriques est expédiée en 5 pages, le théorème des nombres premiers et la transcendance de e et π ne sont même pas mentionnés; Frobenius est cité, mais non la représentation linéaire des groupes, Molien et Cartan n'apparaissent nulle part (il semble que Klein projetait un chapitre spécial sur Lie, où cette partie des mathématiques aurait été exposée avec plus de détails).
Les sujets de prédilection de Klein étaient l'Analyse et la Géométrie et leurs relations mutuelles, et ce sont naturellement l'histoire de ces disciplines qu'il met le plus en lumière, ainsi que celles de la Mécanique et de la Physique mathématique, ce dont on ne peut que se féliciter. Mais même dans ces domaines, il y a de curieuses omissions. On peut admettre que la Topologie ne soit mentionnée que par allusion; mais il n'y a rien sur l'étude qualitative des équations différentielles ni, ce qui est plus surprenant, sur la théorie spectrale des équations différentielles et aux dérivées partielles linéaires (Sturm-Liouville, Schwarz, Poincaré); les équations intégrales ne sont mentionnées qu'une seule fois en passant, à propos du problème de Riemann-Hilbert. Peut-être ces questions auraient-elles fait partie d'un autre chapitre que Klein aurait consacré à Poincaré.
Par contre, il y a des omissions qui sont sûrement délibérées, celles qui concernent la Logique, la Théorie des ensembles et la méthode axiomatique, qui sont parmi les antipathies les plus prononcées de Klein. Il est piquant qu'ayant été le collègue à Göttingen de Hilbert pendant 30 ans, Klein n'en ait jamais assimilé l'esprit qui allait inaugurer la mathématique du XXe siècle, la recherche des structures profondes derrière les apparences, et qu'il n'ait pas su faire de distinction entre cette démarche féconde et les excès des axiomatisateurs de pacotille; voir par exemple ce qu'il dit sur la définition générale des groupes (p. 316), que l'on a peine à croire sorti de la plume de l'auteur du "Programme d'Erlangen''.
Selon l'éditeur (R. Hermann), les autres antipathies prononcées de Klein auraient concerné les Français et les Juifs; mais il faut reconnaître que cela n'apparaît guère dans les jugements qu'il porte sur les mathématiciens de ces deux ethniques, qui sont en général assez équitables (mis à part quelques propos condescendants sur Hermite).
La seconde partie du volume, qui comprend 267 pages, consiste en 16 essais de R. Hermann sur divers sujets de Géométrie différentielle et de Mécanique liés aux travaux de Klein et surtout à ceux de S. Lie et de É. Cartan. Certains sont de nature tout à fait classique, comme la description du groupe conforme de R3 à l'aide du groupe orthogonal \tex, ou celle de la fameuse "transformation de Lie'' entre sphères et droites, à l'aide du groupe orthogonal \tex. D'autres ont trait à divers exemples d'application de la méthode du repère mobile de Cartan, aux caractéristiques de Cauchy dans la théorie des systèmes de Pfaff et à leurs applications en Mécanique. Un des plus intéressants est consacré à la théorie des "feuilletages riemanniens'' de B. Reinhart. Selon son habitude, l'auteur plaide pour un rapprochement plus étroit entre la Physique et la Géométrie différentielle. Il attend aussi beaucoup de tentatives pour utiliser des "variétés de dimension infinie'' dont les "points'' seraient des sous-variétés d'une variété différentielle ordinaire; il est assez curieux qu'il ne semble pas apprécier les travaux récents sur la théorie de Morse, qui vont tout à fait dans ce sens, et dont les résultats (Bott, Smale) sont pourtant assez spectaculaires.

Reviewed by J. Dieudonné