The Classical Groups: Their Invariants and Representations

Description

Weyl coins the term symplectic group (OED: "συμπλεκτικός twining or plaiting together, copulative"):

1939 H. Weyl Classical Groups vi. 165 The study of the symplectic group, which has a close analogy to the orthogonal group. [Note] The name ‘complex group’ formerly proposed by me..has become more and more embarrassing through collision with the word ‘complex’ in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective ‘symplectic’.

1939 H. Weyl Classical Groups vi. 169 The analogues of the real orthogonal transformations are in many respects the unitary rather than the real symplectic transformations.

In this renowned volume, Hermann Weyl discusses the symmetric, full linear, orthogonal, and symplectic groups and determines their different invariants and representations. Using basic concepts from algebra, he examines the various properties of the groups. Analysis and topology are used wherever appropriate. The book also covers topics such as matrix algebras, semigroups, commutators, and spinors, which are of great importance in understanding the group-theoretic structure of quantum mechanics.

Hermann Weyl was among the greatest mathematicians of the twentieth century. He made fundamental contributions to most branches of mathematics, but he is best remembered as one of the major developers of group theory, a powerful formal method for analyzing abstract and physical systems in which symmetry is present. In The Classical Groups , his most important book, Weyl provided a detailed introduction to the development of group theory, and he did it in a way that motivated and entertained his readers. Departing from most theoretical mathematics books of the time, he introduced historical events and people as well as theorems and proofs. One learned not only about the theory of invariants but also when and where they were originated, and by whom. He once said of his writing, "My work always tried to unite the truth with the beautiful, but when I had to choose one or the other, I usually chose the beautiful."

Weyl believed in the overall unity of mathematics and that it should be integrated into other fields. He had serious interest in modern physics, especially quantum mechanics, a field to which The Classical Groups has proved important, as it has to quantum chemistry and other fields. Among the five books Weyl published with Princeton, Algebraic Theory of Numbers inaugurated the Annals of Mathematics Studies book series, a crucial and enduring foundation of Princeton's mathematics list and the most distinguished book series in mathematics.

| Frontmatter --
Preface to the First Edition --
Preface to the Second Edition --
Table of Contents --
Chapter I. Introduction --
Chapter II. Vector Invariants --
Chapter III. Matric Algebras and Group Rings --
Chapter IV. The Symmetric Group and The Full Linear Group --
Chapter V. The Orthogonal Group --
Chapter VI. The Symplectic Group --
Chapter VII. Characters --
Chapter VIII. General Theory of Invariants --
Chapter IX. Matric Algebras Resumed --
Chapter X. Supplements --
Errata and Addenda --
Bibliography --
Supplementary Bibliography, mainly for the years 1940-1945 --
Index
---|---

MR0000255

Les groupes classiques dont parle Monsieur Weyl sont les groupes linéaires général (G L(n)) et spécial (S L(n)), le groupe orthogonal O(n) et le groupe symplectique (S p(n)) (groupe d'un complexe linéaire). Le chapitre I, en forme d'introduction, pose les notions algébriques de base: corps, anneaux, polynômes, espaces linéaires. Le lecteur y trouvera également une explication détaillée du double aspect de la notion de groupe en mathématiques et même en physique mathématique: d'une part, groupe des automorphismes d'un ensemble préservant certaines relations (telles celles par exemple qu'introduit la géométrie euclidienne); d'autre part, groupe des transitions permettant de passer d'un système de référence à un autre. Cette étude consiste en somme en une mise au point du fameux programme d'Erlangen, complété de manière à fournir la théorie des quantités de divers types (vecteurs, tenseurs, … ), dont chacune se transforme suivant sa loi propre. La notion de ces lois de transformation diverses relatives à un même groupe introduit la notion de représentation d'un groupe, celle-ci à son tour l'idée d'invariants de divers types.
Le chapitre II contient la détermination explicite par des moyens algébriques des invariants de type vectoriel (fonctions d'un certain nombre d'arguments vectoriels) des groupes G L(n), O(n). La méthode consiste à exprimer, au moyen d'identités dues à Capelli, tous les invariants au moyen de ceux qui ne dépendent que de n −1 arguments, puis à construire directement ces derniers. Dans chacun des cas envisagés, un "premier théorème principal'' fournit les invariants tandis qu'un "second théorème principal'' fournit les relations entre eux. L'étude des invariants du groupe O(n) avec un corps de base quelconque est possible en vertu de l'existence de la paramétrisation de Cayley des substitutions orthogonales. Celle-ci à son tour permet de donner dès ce chapitre tout algébrique un aperçu de l'aide que fournissent les considérations infinitésimales de la théorie des groupes de Lie.
Le chapitre III contient essentiellement la théorie des algébres associatives semi-simples, qui est traitée du point de vue de la théorie des représentations, suivant la méthode inventée par l'auteur. Le lecteur ne perd jamais de vue le lien avec la théorie des invariants et covariants: la théorie de l'algèbre des commutants (commutatoralgebra), dès qu'introduite, est mise en relation avec la notion de covariant; les anneaux de groupe sont introduits à partir d'une première esquisse des relations entre la réduction de l'espace des tenseurs et les représentations du groupe symétrique. De ce point de vue, on s'intéresse surtout à la réduction de l'algèbre des commutants d'une représentation d'un groupe fini: l'auteur procède à cette réduction directement, en montrant qu'elle se poursuit parallèlement à celle de l'anneau de groupe, sans passer par l'algèbre enveloppante de la reprèsentation elle-même.
Les moyens algébriques dont on dispose à ce stage permettent de tenir les promesses sur la foi desquelles les constructions antérieures ont été entreprises: les chapitres IV, V, VI contiennent l'exposé de la réduction complète des représentations tensorielles des groupes G L(n), O(n), S p(n). Dans le cas de G L(n) on montre que les matrices de la représentation tensorielle de degré f sont celles de l'algèbre des commutants de la représentation correspondante du groupe symétrique; dans le cas de O(n), on peut introduire une algèbre qui joue le même rôle que l'anneau du groupe symétrique; plutôt que d'en passer par l'étude de cette algèbre, on préfère opérer d'abord certaines réductions qui correspondent à l'opération de "rajeunissement'' des tenseurs, puis s'aider des opérations induites par les éléments du groupe symétrique dans les sous-espaces qu'on obtient ainsi. Une méthode analogue conduit au but dans le cas de S p(n). Ici comme au chapitre II, la paramétrisation de Cayley permet de lever toute hypothèse restrictive sur le corps de base. On examine aussi le cas des représentations du groupe orthogonal propre. Par ailleurs ces chapitres contiennent une caractérisation complète des relations algébriques qui doivent exister entre les éléments d'une matrice pour qu'elle soit orthogonale ou symplectique.
À partir du chapitre VII, l'atmosphère générale du livre change quelque peu: l'analyse se substitue progressivement à l'algèbre, amenant dans ses bagages la topologie. On part du problème qui consiste à calculer les caractères des représentations irréductibles qu'on a déjà déterminées. Cette détermination repose sur le célèbre "artifice de l'unitarité'' de H. Weyl, qui permet de se ramener à des sous-groupes du groupe unitaire, donc compacts; dans ces groupes compacts, on peut développer des considérations intégrales grâce à l'existence d'un élément de volume invariant. De plus, on prouve de cette manière qu'il n'existe pas d'autres représentations irréductibles du groupe unitaire que celles déjà rencontrées, données par les tenseurs. L'auteur ne manque pas de recouper les résultats qu'il obtient pour G L(n) en les déduisant à nouveau d'une manière purement algébrique, ce qui se trouve possible en raison de la connection avec le groupe symétrique; mais il n'a pas de peine à montrer combien ici la méthode analytique est plus attrayante. Le chapitre se termine sur la détermination des polynômes de Poincaré des groupes en question, dont les coefficients sont définis au moyen des représentations par les tenseurs anti-symétriques: ce n'est qu'au chapitre suivant qu'apparaîtra la signification topologique de ces polynômes.
Le chapitre VIII est consacré à la théorie générale des invariants (Rappelons que les invariants considérés au chapitre II étaient des invariants de type vectoriel, fonctions de un ou plusieurs vecteurs). La théorie classique ne considérait guère que les invariants des formes homogènes, c'est-à-dire les invariants dépendant de tenseurs symétriques. Le cadre de la recherche est élargi par l'auteur, qui se propose la détermination des invariants qui dépendent de "quantités'' quelconques, définies par des représentations irréductibles. Ce problème peut être approché soit par des méthodes algébriques, soit par des méthodes analytiques. Côté algèbre, on trouve bien entendu la célèbre méthode symbolique, qui permet de ramener la recherche des invariants de degrès donnés à celle d'invariants de type vectoriel; ce n'est qu'aidée du dehors qu'elle peut quelquefois fournir une base finie pour tous les invariants. Pour générale que soit la méthode symbolique, elle n'est cependant pas la seule méthode algébrique qui puisse donner des résultats, comme il est montré par deux exemples importants. Pour obtenir une base finie du système des invariants de G L(n), on utilise le théorème de Hilbert sur la base d'un idéal; il permet d'exprimer tout invariant comme combinaison de certains d'entre eux avec pour coefficients des polynômes qui ne sont pas nécessairement des invariants. Un artifice algébrique permet d'en déduire une expression à coefficients invariants. On peut déduire de là l'existence d'un nombre fini d'invariants de base pour certains autres groupes, tels notamment le groupe affine, par un procédé que l'auteur appelle "adjunction argument,'' qui consiste à introduire un ou plusieurs covariants qui expriment algébriquement la notion de l'"absolu'' des géométries correspondantes. Côté analyse, on est tout naturellement amené à envisager l'aspect "groupes de Lie'' des groupes en question, qui conduit à des équations différentielles pour les invariants. Par ailleurs, si on a affaire à un groupe compact, l'intégration sur le groupe fournit un procédé simple pour remplacer par des invariants les coefficients polynômes qui interviennent après emploi du théorème de Hilbert. D'autre part, l'artifice d'unitarité permet de déterminer toutes les représentations des groupes unimodulaires réel et complexe. Cette question conduit tout naturellement à une étude topologique des groupes classiques; dans le cas du groupe orthogonal, sa connexion particulière conduit à la notion de spineur.
Le chapitre IX et dernier reprend en la résumant et l'étendant l'étude des algèbres associatives qui faisait l'objet du chapitre III. Reviewed by C. Chevalley