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% The Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und             %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
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%% Both pdflatex (to generate pdf) and latex (to generate dvi, and       %%
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%% 2008-Apr-19 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
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%% 2007-May-02 rwst. Compiled with pdflatex:                             %%
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\begin{document}
%----------------Titlepage--------------------
\frontmatter
\pagestyle{empty}
{\small
\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und
Differentialgleichungen, by Sophus Lie

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen

Author: Sophus Lie

Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
\end{verbatim}}
\cleardoublepage

\begin{center}
\vspace{1cm}

{\Huge Über Integralinvarianten}
\bigskip

{\LARGE und}
\bigskip

{\huge Differentialgleichungen}
\bigskip

von
\bigskip

{\Large\bf Sophus Lie}
\bigskip\bigskip

{\small Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse
1902.
No.~1}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\makebox[16em]{\hrulefill}\\
Udgivet for Fridtjof Nansens Fond\\
\vskip-6pt\makebox[16em]{\hrulefill}\\
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

{\large\bf Christiania}\\
\smallskip

{\large In Kommission bei Jacob Dybwad}
\smallskip

A.~W. Brøggers Buchdruckerei\\
\smallskip

1902\\
\end{center}
%-----File: 008.png----------------------------
\pagebreak

\begin{center}
Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (This file was produced from images
generously made available by Cornell University Digital
Collections)
\end{center}

\vfill

\noindent\textbf{Anmerkungen zur Transkription}
\medskip

\noindent{\small Die inkonsistente Schreibweise mehrerer Wörter im Original
wurde unverändert übernommen. Vom Verlag nachträglich angegebene
»Berichtigungen« wurden in den Text eingearbeitet und mit einem Pluszeichen als Anmerkung
markiert.

}\vfill

\begin{center}
\ \\

\vskip3in Fremlagt i Vid.\ Selsk.\ math.\ naturv.\ Kl.\ den 27de Septbr.
1901.\\
\end{center}
%-----File: 009.png----------------------------
\cleardoublepage
\section*{Vorwort.}

Die Gesellschaft der Wissenschaften hat uns mit dem Auftrag beehrt,
Professor \so{Sophus Lies} hinterlassene Manuscripte durchzusehen, da
sich darunter möglicherweise Abhandlungen befinden konnten, die sich zur
Bearbeitung oder Veröffentlichung eigneten.

Von den sehr zahlreichen hinterlassenen Manuscripten, deren Verzeichniss
später veröffentlicht werden soll, sind nur wenige soweit ausgearbeitet,
dass sie ohne weiteres gedruckt werden könnten.

Dagegen finden sich zahlreiche Entwürfe mit skizzirten Arbeiten und
hingeworfenen Ideen, die bei eingehenderer Bearbeitung wohl interessante
Resultate liefern können.

Wir publicieren hiermit die erste der nachgelassenen Abhandlungen:
\emph{Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen}. Diese
bildet eine Fortsetzung zweier früherer Abhandlungen über
Integralinvarianten, die in den Be\-rich\-ten der
kgl.\ Säch.\ Gesellschaft der Wiss.\ zu Leipzig 1897 publicirt sind, und
war von Lie ursprünglich, wie aus einer Aufschrift auf dem Manuscript
hervorgeht, bestimmt, ebenda zu erscheinen.

Die Abhandlung ist im Grossen und Ganzen ziemlich ins Reine
geschrie\-ben und hier und da sind Correcturen übergeklebt. Daher dürfte
sie von Lie bereits für den Druck bestimmt gewesen sein. Zwar fehlt der
angekündigte zweite Theil (siehe S.~6, Note~7) und die Einleitung
scheint noch nicht endgültig redigiert gewesen zu sein; aber die
Abhandlung bildet trotzdem ein so abgeschlossenes Ganzes, dass wir kein
Bedenken tragen sie zu veröffent\-lichen.

Wir haben das Studium dieser Abhandlung durch Anmerkungen an
solchen Stellen zu erleichtern gesucht, wo ein Citat oder eine
Erläuterung
wün\-schens\-werth scheinen konnte. Hier und da haben wir auch kleinere
Schreib- oder Rechenfehler richtig gestellt, worauf wir stets in
Anmerkungen
aufmerksam machen.

Wir sprechen hiermit Hr.~Professor H.~Goldschmidt in Christiania
und Hr.~Professor Friedrich Engel in Leipzig unseren besten Dank für
ihre Mithülfe beim Correcturenlesen aus. Dem Letztgenannten verdanken
wir auch mehrere werthvolle Aufklärungen über gewisse Punkte in der
Einleitung.

\begin{center}
\textbf{Alf Guldberg.}   \qquad\qquad\qquad  \textbf{Carl Størmer.}
\end{center}

%-----File: 010.png----------------------------
%[Blank Page]
%-----File: 011.png----------------------------
\mainmatter
\pagestyle{myheadings}
\thispagestyle{empty}
\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über
integralinvarianten und differentialgl.\hfil}}

\begin{center}
\textbf{Über Integralinvarianten und
Differentialgleichungen\footnote{Die
Theorien dieser Abhandlung entwickelte ich im Sommersemester 1897 in
meinen
Seminar-Vorlesungen an der Universität Leipzig.$\quad$ S.~Lie.}.}\\

von\\

\textbf{Sophus Lie.}
\end{center}

In zwei Abhandlungen, die in den Leipziger Berichten\footnote{Leipziger
Berichte Mai und Juli~1897.} erschienen sind, habe ich wichtige Beiträge
zu der schon früher von mir gestreiften allgemeinen Theorie der
Integralinvarianten geliefert. In der ersten Arbeit, die zunächst dem
allgemeinen Begriffe der Integralinvarianten und dem Zusammenhang dieses
Begriffes mit meiner Theorie der continuierlichen Gruppen und der
Differentialinvarianten gewidmet war, sah ich mich dazu veranlasst, das
Abhängigkeitsverhältniss zu betonen, in dem die Arbeiten anderer
Mathematiker über diesen Gegenstand zu meinen älteren Arbeiten stehen.
In der zweiten Abhandlung beschäftigte ich mich mit der
\emph{Verwerthung bekannter Integralinvarianten für die Integration
vorgelegter Differentialgleichungen} und insbesondere für die Reduction
einer gegebenen continuirlichen Gruppe auf ihre Normalform.

In dieser dritten Abhandlung beschäftige ich mich wiederum mit der
Bedeutung der Integralinvarianten für die allgemeine Theorie der
Differentialgleichungen, und zwar zerfällt diese Arbeit in mehrere
Abschnitte\anm{1}, in denen ein lehrreiches \emph{Beispiel} von sehr
allgemeinem Charakter im Einzelnen durchgeführt wird; gelegentlich gebe
ich auch theoretische Entwicklungen, welche die \emph{allgemeine
Theorie} der Integralinvarianten fördern sollen.
%-----File: 012.png----------------------------

Der Zweck dieser Untersuchungen ist eigentlich ein doppelter. Einerseits
bietet die Theorie der Integralinvarianten an sich ein so grosses
Interesse, dass eine ausführliche Darstellung dieser Lehre als
zweckmässig, ja notwendig betrachtet werden muss. Anderseits ist wohl zu
beachten, dass die Theorie der Integralinvarianten im höchsten Masse
dazu geeignet ist, besonders lehrreiche Illustrationen zu meinen
allgemeinen Integrationstheorien zu liefern. Seit dem Anfange der
siebziger Jahren habe ich eine Reihe fundamentaler Integrationstheorien
entwickelt, in denen ausgedehnte Categorien von Differentialgleichungen
durch rationelle gruppentheoretische Methoden erledigt werden, die mit
\emph{Lagrange's}, \emph{Abel's} und \emph{Galois'} Behandlung der
algebraischen Gleichungen durchgreifende Analogien darbieten.
\emph{Diese meine allgemeinen Untersuchungen, in denen viele specielle
Resultate meiner Nachfolger anticipirt worden sind, haben noch nicht die
allgemeine Beachtung gefunden, die sie entschieden verdienen.} Es beruht
dies wahrscheinlicherweise in erster Linie darauf, dass meine Theorien
fast immer in \emph{abstracter} Form entwickelt worden
sind\footnote{Einige unter meinen Schülern finden es zweckmässig,
diejenigen unter meinen Integrationstheorien, die von den
Jahren~1870--1882 herrühren, einfach zu ignorieren. Es ist aber und
bleibt ein geschichtliches Faktum, dass nicht allein die Begründung der
Theorie der continuierlichen Gruppen, sondern auch die allgemeine
Verwerthung dieser Theorie für Differentialgleichungen von mir
herrührt.}. Darum versuche ich jetzt wie auch in früheren Publicationen,
\emph{lehrreiche} und \emph{interessante Beispiele} zu meinen
allgemeinen Theorien im Einzelnen durchzuführen.%Original: duchzuführen
Schliesslich wird es mir
wohl einmal gelingen, \emph{der mathematischen Welt klar zu machen, dass
gerade die Differentialgleichungen dasjenige Gebiet liefern, innerhalb
dessen die capitale Bedeutung meiner Gruppentheorie sich am stärksten
geltend macht}. Es ist eben ein charakteristisches Merkmal der
Gruppentheorie, dass sie einerseits schwierige Probleme erledigt, und
dass sie anderseits \emph{genau feststellt, was unter gegebenen
Voraussetzungen geleistet werden kann}.

Vielleicht kann es nützlich sein, ehe ich den speciellen
Gegenstand dieser Abhandlung in Angriff nehme, auf einige unter
meinen allgemeinen Integrationstheorien hinzuweisen.

Die Integration einer gewöhnlichen
Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung in den
Veränderlichen~$x$ und~$y$ kann bekanntlich immer auf die Erledigung
eines $q$-gliedrigen vollständigen Systems: \[ \tag{1} X_1f=0,\quad
X_2f=0, \ldots X_qf=0 \] in $n$ unabhängigen Veränderlichen $x_1,\ x_2,
\ldots x_n$ zurückgeführt werden,
%-----File: 013.png----------------------------
und dabei lässt sich immer erreichen, dass die Klammerausdrücke~$X_iX_kf
- X_kX_if$ sämtlich identisch verschwinden.

Man weiss andererseits, dass die Integration eines $q$-gliedrigen
vollstän\-di\-gen Systems~(1) mit~$n$ unabhängigen Veränderlichen~$x_1,
\ldots x_n$, sich auf die Erledigung einer gewöhnlichen
Differentialgleichung~$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung zurückführen lässt;
und dabei liegt es in der Natur der Sache, dass diese Hülfsgleichung
$(n-q)^{\mathrm{ter}}$ Ordnung im Allgemeinen keine specielle
Eigenschaften besitzt, aus denen sich eine Vereinfachung ihrer
Integration herleiten liesse.

Ganz anders kann die Sache stehen, wenn ein vollständiges System:
\begin{flalign*}
&\phantom{(x_1,\ x_2,\ldots x_n)}&
& X_1f=0,\ X_2f=0,\ldots X_qf=0  &
&         (x_1,\ x_2,\ldots x_n)
\end{flalign*}
zu Integration vorgelegt ist, und \emph{man von vorneherein
gewisse specielle Eigenschaften dieses vollständigen Systems schon
kennt}.

Ganz besonders eingehend habe ich
mich\footnote{Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu
Christiania 1872 und 1874. Math.\ Ann.\ Bd.~IX. Verh.\ d.\ Ges.\ d.\ Wiss.\ zu
Christiania 1882. Ein Resumé dieser Theorien
findet sich in Math.\ Ann.\ Bd.~XXV.} in den Jahren~1872 und~1874
mit der Annahme beschäftigt, dass \emph{gewisse infinitesimale
Transformationen}: $Y_1f,\ Y_2f, \ldots Y_pf$, die das
vollständige System invariant lassen, und anderseits
\emph{gewisse Lösungen} des vollständigen Systems von
vorneherein bekannt sind. In den oben citierten Arbeiten aus den
Jahren~1874 und~1882 gab ich die definitive Erledigung des eben
formulierten Problems, und \emph{zu dieser weittragenden Theorie
konnten spätere Arbeiten anderer Mathematiker nach der Natur der
Sache keine neuen und wesentlichen Beiträge
hinzuführen}\footnote{Meine Nachfolger und Schüler haben einige
neue \emph{Anwendungen} meiner Integrationstheorien geliefert.
Es scheint aber ihrer Aufmerksamkeit entgangen zu sein, wie
minimal die verbindende Brücke ist.}.

Wir können ferner annehmen, dass~$r$ unabhängige infinitesimale
Transformationen~$X_1f,\ X_2f,\ldots X_rf$ vorgelegt sind, die
Relationen von der Form
\begin{flalign*}
&\phantom{(c_{iks} = \text{Const.})}       &
& X_i X_kf - X_kX_if = \sum_s c_{iks}X_sf  &
& (c_{iks} = \text{Const.})
\end{flalign*}
erfüllen, und dass man alle Lösungen des Gleichungs-Systems
\[
\tag{2} X_1f=0,\ldots X_rf=0
\]
anders ausgesprochen, alle Invarianten~$U(x_1,\, x_2,\ldots x_n)$
der $r$-gliedrigen Grup\-pe $X_1f\ldots X_rf$ bestimmen will. Finden
sich unter den Gleichungen (2) etwa~$q$ unabhängige, so bilden
diese~$q$ Gleichungen
%-----File: 014.png----------------------------
\[
X_1f=0,\ldots X_qf=0
\]
ein vollständiges System, dessen $n-q$ Lösungen gerade die gesuchten
Invarianten liefern. Will man nun die Integration dieses vollständigen
Systems in rationeller, das heisst, in einfachst möglicher Weise
durchführen, so muss man in erster Linie untersuchen, ob infinitesimale
Transformationen~$\Yf$ vorhanden sind, die mit allen~$r$
Transformationen~$X_1f,\ldots X_rf$ vertauschbar sind. Giebt es keine
derartige Transformationen~$\Yf$, so kann die Integration des
vollständigen Systems~$X_1f= 0, \ldots X_qf= 0$ durch ausführbare
Operationen geleistet werden. Sind dagegen infinitesimale
Transformationen~$\Yf$ vorhanden, die mit allen~$X_kf$ vertauschbar
sind, so bilden alle~$\Yf$ ihrerseits eine continuirliche endliche oder
unendliche Gruppe, und es ist die \emph{Zusammensetzung dieser
Gruppe~$\Yf$, die das vorliegende Integrationsproblem
beherrscht}\anm{2}.

Es kann vielleicht nützlich sein, dass wir in aller Kürze daran
erinnern, wie wir dieses Problem auf das zuerst besprochene Problem
zurückgeführt haben. Sind~$X_1f,\ldots X_rf$, $r$ unabhängige
infinitesimale Transformationen der vorgelegten Gruppe, so können wir
immer annehmen\label{anm3a}, dass wir eine kanonische Form dieser
Gruppe
\[
X'_kf=\sum \xi_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial f}{\partial
x'_i}
\]
und gleichzeitig die reciproke\label{anm3b} Gruppe
\[
Y'_kf = \sum_i \eta'_{ki} (x'_1, \ldots x'_n)\frac{\partial
f}{\partial x'_i}
\]
der letzten Gruppe kennen.

Unser Problem deckt sich sodann mit der Reduktion der vorgelegten
Gruppe~$X_1f, \ldots X_rf$ auf ihre kanonische Form und findet
daher seinen analytischen Ausdruck in den~$r$ Gleichungen
\[
X_kf = X'_kf
\]
oder eigentlich in den $r\cdot n$ Gleichungen, die hervorgehen, wenn
für~$f$ nach und nach~$x'_1, x'_2, \ldots x'_n$ gesetzt wird.
Hiermit erhalten wir ein System partieller Differentialgleichungen
\begin{gather*}
\varOmega_k (x_1, x_2, \ldots x_n, x'_1 \ldots x'_n,
\frac{\partial x'_1}{\partial x_1},\ldots)=0
\\
k = 1, 2, 3,\ldots
\end{gather*}
%-----File: 015.png----------------------------
deren allgemeinste Lösungen $y_1', y_2', \ldots y_n'$ aus einem
speciellen Lösungs\-sys\-tem~$x_1',\ldots x_n'$ durch \emph{bekannte}
Gleichungen
\[
y_i' = \varphi_i (x_1,\ldots x_n',b_1,\ldots)
\]
hervorgehen, die eine Gruppe und zwar gerade die kanonische reciproke
Gruppe bilden. Nachdem wir aber unser Problem auf diese Gestalt gebracht
haben, können wir es in bekannter Weise auf die Form einer linearen
partiellen Differentialgleichung:~$Af = 0$ bringen, deren
Charakteristiken von einer einfach transitiven Gruppe transformirt
werden, die mit der Gruppe~$Y_k' f$ gleichzusammengesetzt
ist.\label{anm3c}---

Bestehen Gleichungen von der Form:
\[
X_{q+k}f = \varphi_{k1}(x) X_1 f + \dots + \varphi_{kq}X_q f
\]
\[
(q+k=q+1,\ldots r)
\]
sowie die analogen Gleichungen
\[
X'_{q+k} f = \varphi'_{k1}(x') X'_1 f + \dots + \varphi'_{kq} X'_q f
\]
so kann man
\[
\varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x')
\]
setzen und findet hiermit unter allen Umständen ohne Integration gewisse
endliche Relationen zwischen den~$x$ und~$x'$.

Reducirt sich insbesondere die reciproke Gruppe $Y_k'f$ auf die
identische Transformation, so leistet das
Gleichungssystem~$\varphi_{ki}(x)=\varphi'_{ki}(x')$ unmittelbar die
Überführung der Gruppe~$X_1 f,\ldots X_r f$ auf ihre kanonische Form,
gleichzeitig also die Erledigung des vorliegenden Problems\anm{3}.

Wir denken uns wiederum, dass ein vollständiges System
\[
X_1 f=0,\ldots X_q f=0
\]
zur Integration vorgelegt ist und wollen dabei annehmen, dass alle
Klammerausdrücke~$X_i X_k f-X_k X_i f$ identisch gleich Null sind. Wir
setzen überdies voraus, dass ein System oder mehrere Systeme partieller
Differentialgleichungen in den~$x$ vorgelegt sind, unter denen jedes
einzelne System bei allen~$X_k f$ invariant bleibt. Man kann sich dann
die Frage vorlegen, welcher Vorteil aus diesem Umstande für die
Integration des vollständigen Systems~$X_1 f=0, \ldots X_q f=0$ gezogen
werden kann. In unseren älteren Arbeiten ist dieses Problem jedenfalls
implicite erledigt worden, bei dieser Gelegenheit werden wir uns darauf
beschränken, einige allgemeine Bemerkungen über diese Fragestellung zu
machen.
%-----File: 016.png----------------------------

Es ist unter allen Umständen möglich zu entscheiden, ob die
vorgelegten~$X_xf$ die einzigen infinitesimalen Transformationen sind,
welche sämtliche bekannte Systeme von Differentialgleichungen invariant
lassen oder nicht\anm{4}.

Giebt es keine weitere infinitesimale Transformationen, die unsere
Forderungen erfüllen, so findet man \emph{alle Lösungen} des
vollständigen Systems $X_1f=0,\ldots X_qf=0$ ohne Integration\anm{5}.
Giebt es dagegen noch weitere infinitesimale Transformationen~$\Yf$, die
alle vorgelegten Systeme partieller Differentialgleichungen invariant
lassen, so kann man, selbst wenn die~$\Yf$ unbekannt sind, \emph{alle
gemeinsamen Lösungen} der Gleichungen
\[
X_k f=0,\quad  \Yf = 0
\]
ohne Integration finden\anm{6}.

Wir behalten uns vor, gelegentlich eine vollständige Erledigung
des hier gestreiften Problems zu liefern.

In dieser Abhandlung denken wir uns, dass man die Invarianten
$u(x_1,\ldots x_n)$ einer vorgelegten $r$-gliedrigen Gruppe~$X_1f,\ldots
X_rf$ finden will, und dass man zufälligerweise eine oder mehrere
Integralinvarianten dieser~$r$-gliedrigen Gruppe von vorneherein kennt.
Wir fragen, welchen Vortheil man aus diesem Umstande für die Integration
des Gleichungssystems
\[
X_1f=0, \ldots X_rf=0
\]
ziehen kann. Im ersten Abschnitte dieser Arbeit geben wir die
detaillirte Behandlung eines allerdings speciellen, immerhin aber
recht umfangreichen und jedenfalls sehr instructiven speciellen
Falles des soeben formulirten Problems, dessen allgemeine
Erledigung im zweiten Abschnitte geliefert wird\anm{7}.

Offenbar wäre es möglich, noch viel allgemeinere Probleme zu stellen,
die in ganz ähnlicher Weise von meinen allgemeinen Principien beherrscht
werden. Sucht man z.~B.\ die Invarianten~$u(x_1,\ldots x_n)$ einer
vorgelegten endlichen continuirlichen Gruppe, so kann man annehmen, dass
gewisse derartige Invarianten schon vorliegen, dass andererseits gewisse
infinitesimale Transformationen~$\Yf$ bekannt sind, die unsere Gruppe in
sich transformieren, und dass endlich gewisse Systeme von
Differentialgleichungen und gewisse Integrale vorliegen, die bei der
Gruppe~$X_1f,\ldots X_rf$ invariant sind. Meine allgemeinen Theorien
gestatten in jedem einzelnen Falle genau festzustellen, welchen Vortheil
man aus den vorliegenden Umständen für die Bestimmung aller
Invarianten~$u(x_1, \ldots x_n)$ der vorgelegten Gruppe ziehen kann.
%-----File: 017.png----------------------------

In vielen früheren Abhandlungen beschäftigten wir uns mit dem folgenden
Probleme:

Eine continuierliche Gruppe liegt vor; man will die Bahncurven einer
infinitesimalen Transformation dieser Gruppe (oder überhaupt die
Invarianten einer Untergruppe) bestimmen. Wir haben eine allgemeine
Erledigung dieses Problems geliefert. Es ist leicht, den Zusammenhang
der oben besprochenen allgemeinen Fragestellungen mit diesen Problem zu
erkennen. Sucht man nämlich z.~B.\ die Bahnkurven einer
Transformation~$\Xf$ und kennt man eine zugehörige Integralinvariante,
so weiss man, dass alle Transformationen~$\Yf$, die dieses Integral
invariant lassen und mit~$\Xf$ vertauschbar sind, eine Gruppe erzeugen,
und in dieser allerdings unbekannten Gruppe ist~$\Xf$ jedenfalls
enthalten.
\begin{center}
\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}

%-----File: 018.png----------------------------
\pagebreak
\bigskip
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf Kapitel 1}\linebreak
\makebox[5em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}
{\bf\vskip-10pt\hskip0.5in Vertauschbare infinitesimale Transformationen
mit einer\linebreak
zweidimensionalen Integralinvariante.}
\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil über
integralinvarianten und differentialgl.\hfil}}

\bigskip

In diesem Kapitel stellen wir ein allgemeines Integrationsproblem,
bei dessen Behandlung eine Reihe wesentlich verschiedener Fälle
eintreten können. Das betreffende Problem bezieht sich auf ein
Integral
\[
\int \psi\ dx_1\, dx_2
\]
das über eine zweidimensionale Punkt-Mannigfaltigkeit erstreckt
wird und daher von uns kurz weg als ein \emph{zweidimensionales
Integral} bezeichnet wird.

\emph{\textbf{Problem}: Im vierfachen Raume $x_1\ x_2\ x_3\ x_4$
liegen zwei vertauschbare infinitesimale Transformationen}
\[
X_kf = \xi_{k1} \frac{\partial f}{\partial x_1} + \xi_{k2}
\frac{\partial f}{\partial x_2} + \xi_{k3} \frac{\partial
f}{\partial x_3} + \xi_{k4} \frac{\partial f}{\partial x_4} \quad
(k=1,\, 2)
\]
\emph{mit verschiedenen Bahncurven vor. Man kennt von
vorneherein eine zweidimensionale Integralinvariante erster
Ordnung der beiden Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ nämlich
das Integral}
\[
\int \psi \bigl(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, \left.\frac{\partial
x_3}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\
\frac{\partial x_4}{\partial x_1},\ \frac{\partial x_4}{\partial
x_2} \right) dx_1\, dx_2,
\]
\emph{dessen Argument $\psi$ in den fünf Grössen}
\[
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},\
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},\
  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},\
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
\
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
\]
\emph{linear ist. Es soll das Vorhandsein dieser
Integralinvariante bei der Integration des vollständigen Systems}
%-----File: 019.png----------------------------
\[
X_1f = 0, \quad  X_2f = 0
\]
\emph{so viel wie möglich verwerthet werden}.

Da die Grösse
\[
\psi = A \frac{\partial x_3}{\partial x_1} + B \frac{\partial
x_3}{\partial x_2} + C\frac{\partial x_4}{\partial x_1} +
D\frac{\partial x_4}{\partial x_2} + E \left( \frac{\partial
x_3}{\partial x_1} \frac{\partial x_4}{\partial x_2} -
\frac{\partial x_3}{\partial x_2} \frac{\partial x_4}{\partial
x_1}\right) + F
\]
sechs Coefficienten $A,\ B,\ldots F$ enthält, die ganz
beliebige\anm{8} Funktionen von $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ sein
können, so umfasst die gestellte Aufgabe eine ausgedehnte
Categorie von Problemen. Wir behaupten und werden zunächst
beweisen, dass alle diese Probleme in dem Sinne eine natürliche
Familie bilden, dass der \emph{Inbegriff} dieser Probleme bei
jeder Coordinatentransformation des Raumes~$x_1 \ldots x_4$
invariant bleibt.

Führen wir in das Integral $\int \psi \ dx_1\, dx_2$ neue
Veränderliche~$x'_1,\ldots x'_4$ vermöge der Substitution
\begin{flalign*}
& \phantom{(k=1,\ldots 4)} &
& x'_k = F_k (x_1 \ldots x_4)
& (k=1,\ldots 4) &
\end{flalign*}
ein, so wird die Beziehung zwischen dem transformierten Integral:
\[
{\textstyle{\int}}\, \psi'\ dx'_1\, dx'_2
\]
und dem ursprünglichen Integral durch die Gleichung
\[
\tag{1} \psi' = \psi : \sum \pm \left( \frac{\partial
F_1}{\partial x_1} \right) \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_2}
\right)= \psi : \Delta
\]
festgestellt, und dabei ist\anm{9}\label{anm9a}
\begin{gather*}
\left( \frac{\partial F_i}{\partial x_1} \right) =
 \frac{\partial F_i}{\partial x_1} +
 \frac{\partial F_i}{\partial x_3} \cdot
 \frac{\partial x_3}{\partial x_1} +
 \frac{\partial F_i}{\partial x_4} \cdot
 \frac{\partial x_4}{\partial x_1}\\
\left( \frac{\partial F_i}{\partial x_2} \right) =
\frac{\partial F_i}{\partial x_2} + \frac{\partial F_i}{\partial
x_3} \cdot \frac{\partial x_3}{\partial x_2} + \frac{\partial
F_i}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial x_4}{\partial x_2}\\
  (i= 1,\ 2)
\end{gather*}

Es bestehen die Gleichungen
\[
dx'_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dx'_1 +
\frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}\, dx'_2 \quad ,\quad dx'_4 =
\frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}\, dx'_1 + \frac{\partial
x'_4}{\partial x'_2}\, dx'_2
\]
sowie die æquivalenten:
\[
dF_3 = \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial
x'_3}{\partial x'_2}\, dF_2 \quad ,\quad dF_4 = \frac{\partial
x'_4}{\partial x'_1}\, dF_1 + \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}\,
dF_2,
\]
und aus ihnen erhalten wir in bekannter Weise die
Relationen\anm{10}.
%-----File: 020.png----------------------------
\begin{align*}
  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
&=
         \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right)
+        \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
\\
  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
&=
         \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right)
+        \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right)
\\
  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
&=
         \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
+        \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right),
\\
  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
&=
         \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
+        \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right),
\end{align*}
und durch Auflösung die bekannten Formeln\label{anm9b}
\begin{align*}
  \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
&=
  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right)
- \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
\\
  \Delta \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
&= - \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
+ \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right),
\\
  \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
&=
  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_2} \right)
- \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
  \left( \frac{\partial  F_2}{\partial  x_1} \right),
\\
  \Delta \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
&= - \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_2} \right)
+ \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
  \left( \frac{\partial  F_1}{\partial  x_1} \right).
\end{align*}

Hierzu fügen wir die Formel
\[
  \Delta\left( \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
               \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
             - \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
               \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2} \right)
=
  \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_1} \right)
  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_2} \right)
- \left( \frac{\partial  F_3}{\partial  x_2} \right)
  \left( \frac{\partial  F_4}{\partial  x_1} \right)
\]
die aus dem Multiplicationssatze der Determinanten hervorgeht.

In diesen fünf Formeln haben die rechten Seiten sowie~$\Delta$ die
gemeinsame Form\anm{11}:
\begin{gather*}
  \left( \frac{\partial U}{\partial x_1} \right)
  \left( \frac{\partial V}{\partial x_2} \right)
- \left( \frac{\partial U}{\partial x_2} \right)
  \left( \frac{\partial V}{\partial x_1} \right)
=
  \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix}
+
  \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_2 \end{vmatrix}
   \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+
  \begin{vmatrix} U & V \\ x_4 & x_2 \end{vmatrix}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
\\
+ \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_3 \end{vmatrix}
  \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+ \begin{vmatrix} U & V \\ x_1 & x_4 \end{vmatrix}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+
  \begin{vmatrix} U & V \\ x_3 & x_4 \end{vmatrix}
  \left( \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
         \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
       - \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
         \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right)
\end{gather*}

Es ergiebt sich also, dass zwischen den \emph{fünf} Grössen
%-----File: 021.png----------------------------
\[
\tag{2}
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},
  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
\
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
\]
und den fünf transformierten Grössen
\[
\tag{3}
  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1},
  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2},
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1},
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2},
\
  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
\]
eine projective Beziehung besteht, so zwar dass jede einzelne unter den
fünf Grössen~(3) multiplicirt mit~$\Delta$ sich \emph{linear} durch die
fünf Grössen~(2) multiplicirt mit Funktionen der~$x$ ausdrückt.

Wir sahen aber schon, dass
\[
  \psi' = \psi: \Delta
\]
ist, und also können wir schliessen, dass, wenn $\psi$ die Form
\[
  \psi =
  A \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+ B \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+ C \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+ D \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+ E \left(
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right) + F
\]
besitzt, dann $\psi'$ die ähnliche Form
\[
  \psi' =
  A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+ B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+ C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+ D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+ E' \left(
  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right) + F'
\]
annehmen muss.

Es gilt also der

\bigskip

\begin{satz} %% Original had 'Sats'
\label{satz1} Liegt in den Veränderlichen $x_1 \ldots x_4$
ein Integral vor, das
über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten
$x_3 = L(x_1, x_2)$,
$x_4 = M(x_1, x_2)$
erstreckt ist und die Form
\[\wideeqn
  \int \left\{
  A \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
+ B \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
+ C \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
+ D \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
+ E \left(
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1} \right)
+ F \right\}dx_1\, dx_2
\]
besitzt, so erhält dieses Integral durch Einführung neuer
Veränderlichen:
\[
  x'_k = F_k(x_1, x_2, x_3, x_4) \qquad (k = 1, 2, 3, 4)
\]
immer die analoge Form:
\[\wideeqn
  \int \left\{
  A' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
+ B' \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
+ C' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1}
+ D' \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
+ E' \left(
  \frac{\partial x'_3}{\partial x'_1}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_2}
- \frac{\partial x'_3}{\partial x'_2}
  \frac{\partial x'_4}{\partial x'_1} \right)
+ F' \right\} dx'_1\, dx'_2
\]

Die Coefficienten $A'$, $B'$, \ldots $F'$ sind Funktionen der~$x'$,
deren Form einerseits von der Form der Funktionen $A(x_1\ldots x_4)$,
$B$,\ldots $F$ anderseits von der Transformation $x'_k = F_s(x_1\ldots
x_4)$ abhängt.
\end{satz}

\bigskip
%-----File: 022.png----------------------------

Wir halten es für richtig, auf den begrifflichen Inhalt des eben
aufgestellten Satzes näher einzugehen.

Im vierfachen Raume $x_1 \ldots x_4$ giebt es $\infty^7$
\emph{Linienelemente}, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\, $dx_1$ : $dx_2$ :
$dx_3$ : $dx_4$, ferner $\infty^7$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$,
$x_4$,\, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$,
\emph{dreidimensionaler} Mannigfaltigkeiten: $x_4 = \varphi(x_1, x_2,
x_3)$ und endlich $\infty^8$ Elemente $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$,\,
$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial
x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
x_4}{\partial x_2}$, \emph{zweidimensionaler} Mannigfaltigkeiten $x_3 =
M(x_1, x_2)$, $x_4 = N(x_1, x_2)$.

Betrachten wir nun alle Elemente eindimensionaler, zweidimensionaler und
dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, die durch einen bestimmten Punkt
$x_1, x_2, x_3, x_4$ hindurchgehen, so müssen wir sagen,
\begin{itemize}[label=\ ]
\item dass durch einen Punkt $x_1 \ldots x_4$ des vierfachen Raumes
$\infty^3$ Linienelemente $dx_1$ : $dx_2$ : $dx_3$ : $dx_4$ gehen, die
ihrerseits eine \emph{dreidimensionale
ebene Mannigfaltigkeit}~$M_3$ bilden,
\item dass die $\infty^4$ durch den gewählten Punkt gehenden Elemente
$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial x_3}{\partial
x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
x_4}{\partial x_2}$, zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_3 = M(x_1,
x_2),$ $x_4 = N(x_1, x_2)$ im dreidimensionalen ebenen Raume~$M_3$ die
Rolle der \emph{Geraden} spielen,
\item dass endlich die $\infty^3$ durch den gewählten Punkt $x_k$
gehenden Elemente $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_3}$,
dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten $x_4 - \varphi(x_1, x_2, x_3) = 0$
im dreifachem Raume~$M_3$ die Rolle der \emph{Ebenen} spielen.
\end{itemize}

Im dreifachen Raume $M_3$ müssen wir daher die Grössen $dx_1$, $dx_2$,
$dx_3$, $dx_4$ als \emph{homogene} Punktcoordinaten, ihre Verhältnisse
dementsprechend als \emph{absolute} Punktcoordinaten auffassen. Wir
müssen ferner die drei Ableitungen~$\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$,
$\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial
x_3}$, als \emph{Ebenencoordinaten} und endlich \emph{die vier
Ableitungen}~$\frac{\partial x_3}{\partial x_1}$, $\frac{\partial
x_3}{\partial x_2}$, $\frac{\partial x_4}{\partial x_1}$,
$\frac{\partial x_4}{\partial x_2}$ als \emph{Liniencoordinaten }des
dreifachen Raumes~$M_3$ betrachten\anm{12}. Dabei können wir nach dem
Vorgange von
\emph{Plücker} die Determinante
\[
\frac{\partial x_3}{\partial x_1}\frac{\partial x_4}{\partial x_2}-
 \frac{\partial x_3}{\partial x_2}\frac{\partial x_4}{\partial x_1}
\]
als \emph{fünfte} Liniencoordinate des Raumes~$M_3$ einführen.
%-----File: 023.png----------------------------

Bei dieser Auffassung sagt unser Satz~1, dass die fünf Liniencoordinaten
des Raumes~$M_3$
\[
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1},
  \frac{\partial x_3}{\partial x_2},
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1},
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2},
\
  \frac{\partial x_3}{\partial x_1}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_2}
- \frac{\partial x_3}{\partial x_2}
  \frac{\partial x_4}{\partial x_1}
\]
bei jeder Punkttransformation des vierfachen Raumes $x_1 \ldots x_4$
\emph{projektiv} transformirt werden. Und das liesse sich a priori ohne
Rechnung aus der bekannten Thatsache herleiten, dass jede
Punkttransformation des $n$-fachen Raumes im Infinitesimalen projectiv
ist\anm{13}.

Wenn wir auch befürchten müssen, dass die eben vorgetragenen
Betrachtungen nur für Geometer, die mit den Elementen der Plückerschen
Liniengeometrie vertraut sind, leicht verständlich sind, so haben wir
sie
doch nicht zurückhalten wollen. Es ist eben unsere Überzeugung,
dass es richtig ist, die principiellen Fortschritte der Geometrie für
die
Analysis zu verwerthen. In der That gewinnt die ganze Theorie, die
wir in dieser Abhandlung darstellen, an Durchsichtigkeit und
Einfachkeit,
wenn wir die Grundlagen der Plückerschen Liniengeometrie als bekannt
voraussetzen.

Indem wir nun das oben gestellte Problem in Angriff nehmen, finden
wir es zweckmässig, zunächst \emph{die allgemeinste Transformation
\begin{flalign*}
&\phantom{(k=1, \ldots 4)}&
  x_k' = F_k(x_1 \ldots x_4) &&&   (k=1, \ldots 4)
\end{flalign*}
zu suchen, die sowohl die Form der beiden infinitesimalen
Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$, wie die Form der bekannten
Integralinvariante $\int \psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt.} Die endlichen
Transformationen der zweigliedrigen Gruppe~$X_1 f$, $X_2 f$ besitzen
offenbar diese Eigenschaft; unter Umständen giebt es aber noch weitere
Transformationen, die unsere Forderungen erfüllen. Es liegt in der Natur
der Sache, dass der Inbegriff aller Transformationen $x'_k =
F_k(x_1\ldots x_4)$, bei denen die Form von~$X_1f$, $X_2f$ und~$\int
\psi\, dx_1\, dx_2$ bewahrt wird\anm{14}, eine Gruppe~$G$ bildet. Wir
werden sehen, dass \emph{diese Gruppe~$G$ das ursprünglich gestellte
Problem beherrscht} und dass z.~B.\ die Integration des vollständigen
Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiationsprocesse verlangt, wenn
die Gruppe~$G$ keine anderen infinitesimalen Transformationen als~$X_1f$
und~$X_2f$ enthält.

Es wird sich zeigen, dass die Gruppe $G$ viele wesentlich verschiedene
Formen haben kann. Während sie unter Umständen, ja im Allgemeinen nur
die beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1f$ und~$X_2f$ umfasst,
kann sie in speciellen Fällen sogar eine \emph{unendliche} Gruppe
darstellen. Die Gruppe~$G$ vertauscht eo ipso die~$\infty^2$
charakteristischen Mannigfaltigkeiten~$u = a$, $v = b$ des vollständigen
Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ unter
%-----File:024.png----------------------------
einander.
Dabei ist es, werden wir sehen, denkbar, dass~$G$ das zweidimensionale
Gebiet~$u$, $v$ in \emph{allgemeinster} Weise transformiert und dass
diese Gruppe dementsprechend mit der Gruppe \emph{aller}
Punkttransformationen einer Ebene \emph{gleichzusammengesetzt} ist. In
diesem speciellen Falle, der als ein Ausnahmefall aufgefasst werden
muss, lässt sich aus dem Vorhandsein der bekannten
Integralinvariante~$\int\psi\, dx_1\, dx_2$ gar kein Vortheil für die
Integration des vollständigen Systems:~$X_1f=0$, $X_2f=0$ ziehen.

Um in einfacher Weise die kanonischen Formen zu finden, auf welche~$G$
in den verschiedenen Fällen gebracht werden kann, denken wir uns
zunächst statt~$x_1\ldots x_4$ solche neue unabhängige Veränderliche
\[
  x, y, z, \mathfrak{z}
\]
eingeführt, dass $X_1f$ und $X_2f$ die kanonische Formen
\[
  X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z},  \quad
  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}},
\]
annehmen\anm{15}. Ist dann
\[
  \int \psi\, dx\, dy
\]
die entsprechende Form der bekannten Integralinvariante, so können wir
setzen
\[
  \psi = \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q}
+ \varepsilon(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) + \varphi,
\]
dabei vorausgesetzt, dass wir die abgekürzten Bezeichnungen
\[
  \frac{\partial z}{\partial x} = p, \quad
  \frac{\partial z}{\partial y} = q, \quad
  \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial x} = \mathfrak{p}, \quad
  \frac{\partial \mathfrak{z}}{\partial y} = \mathfrak{q}
\]
einführen.  Und da $X_1f$ und $X_2f$ bei einmaliger Erweiterung die
Gestalten
\begin{align*}
  X'_1 f
&= z\frac{\partial f}{\partial z}
 + p\frac{\partial f}{\partial p}
 + q\frac{\partial f}{\partial q}
\\
  X'_2 f
&= \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
 + \mathfrak{p} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}}
 + \mathfrak{q} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}}
\end{align*}
erhalten, so zerlegen sich die Bedingungsgleichungen für die Invarianz
unseres Integrals\anm{16}\label{anm16a}
\[
  0 = (\alpha_z z + \alpha)p + (\beta_z z + \beta)q
    + z\gamma_z\mathfrak{p} + z\delta_z\mathfrak{q}
    + (z\varepsilon_z + \varepsilon)(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)
    + z\varphi_z
\equiv X'_1 \psi
\]
%-----File: 025.png----------------------------
\[
0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}}p +
    \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}}q +
    (\mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma) \mathfrak{p} +
    (\mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta) \mathfrak{q} +
    (\mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon)
(p\mathfrak{q} -\mathfrak{p}q) +
    \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}}  \equiv  X'_2 \psi
\]
in die zwölf Relationen
\begin{gather*}
0 = z\alpha_z + \alpha
  = z\beta_z  + \beta
  = z\gamma_z
  = z\delta_z
  = z\varepsilon_z  + \varepsilon
  = z\varphi_z,
\\
0 = \mathfrak{z}\alpha_{\mathfrak{z}}
  = \mathfrak{z}\beta_{\mathfrak{z}}
  = \mathfrak{z}\gamma_{\mathfrak{z}} + \gamma
  = \mathfrak{z}\delta_{\mathfrak{z}} + \delta
  = \mathfrak{z}\varepsilon_{\mathfrak{z}} + \varepsilon
  = \mathfrak{z}\varphi_{\mathfrak{z}},
\end{gather*}
die uns zeigen, dass die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi $
die Form
\begin{gather*}
\alpha = \frac{A(x,y)}{z}, \quad
\beta  = \frac{B(x,y)}{z}, \quad
\gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}}, \quad
\delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}}
\\
\varepsilon = \frac{C(x,y)}{z\mathfrak{z}}, \quad
\varphi = D(x,y)
\end{gather*}
besitzen. Das vorliegende Integral er\-hält daher in den kanonischen
Ver\-än\-der\-lichen $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$, die Form:
\[
\tag{4}
\int \left\{
\frac{Ap+Bq}{z} +
\frac{\mathfrak{Ap}+\mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} +
\frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
\right\}dx\, dy
\]
und es sind die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$,
$C$ und $D$ Funktionen und zwar willkürliche Funktionen von~$x$ und~$y$.

Wir suchen jetzt die Gruppe $G$, deren Transformationen die Form
der beiden infinitesimalen Transformationen~$X_1 f$, $X_2 f$ sowie die
Form des
vorliegenden Integrals~(4) bewahren, und zwar werden wir zunächst alle
infinitesimale Transformationen
\[
\Uf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} +
     \eta \frac{\partial f}{\partial y} +
     \zeta \frac{\partial f}{\partial z} +
     \overline{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
bestimmen, die unsere Forderungen erfüllen.

Das Verlangen, dass $X_1f$ und $X_2f$ bei der Transformation~$\Uf$ ihre
Form bewahren sollen, findet nach meinen allgemeinen Theorien seinen
analytischen Ausdruck darin, dass~$\Uf$ sowohl mit~$X_1f$ wie mit~$X_2f$
\emph{vertauschbar}\anm{17} sein soll, was wieder heisst, dass die
Relationen
\[
X_1 \Uf - U X_1 f=0, \qquad X_2 \Uf - U X_2 f=0
\]
bestehen, und dass $\Uf$ dementsprechend die Form\anm{18}
\[
\Uf = \xi(x,y)\frac{\partial f}{\partial x} +
     \eta(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} +
     z\cdot\alpha(x,y)\frac{\partial f}{\partial z} +
     \mathfrak{z}\cdot\beta(x,y)\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
%-----File: 026.png----------------------------
besitzt, wobei $\xi$,
$\eta$, $\alpha$ und $\beta$  Funktionen von~$x$, $y$ bezeichnen,
die durch die Bedingungsgleichung
\[
\tag{5} U' \psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0
\]
näher bestimmt werden\anm{16}\label{anm16b}.

Durch einmalige Erweiterung von $\Uf$ erhalten wir die Formel:
\begin{gather*}
U'f = \xi \frac{\partial f}{\partial x} +
 \eta \frac{\partial f}{\partial y} +
 z \alpha \frac{\partial f}{\partial z} +
 \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}} +
\\
+ (p \alpha + z\alpha_x - p \xi_x - q \eta_x)\frac{\partial f}{\partial
p} +
 (q\alpha + z\alpha_y - p \xi_y - q\eta_y)\frac{\partial f}{\partial q}
+
\\
+ (\mathfrak{p}\beta + \mathfrak{z} \beta_x - \mathfrak{p} \xi_x -
\mathfrak{q} \eta_x) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{p}} +
(\mathfrak{q} \beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y -
\mathfrak{q} \eta_y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{q}}
\end{gather*}

Die Bedingungsgleichung (5) erhält daher, wenn wir zur Abkürzung
setzen:
\[
\xi (x, y) \frac{\partial f}{\partial x} + \eta (x, y)
\frac{\partial f}{\partial y} = \Ubarf,
\]
die Gestalt:\anm{+61}
\begin{gather*}
\frac{[\overline{U}(A) - \alpha A]p + [ \overline{U}(B) - \alpha
B]q}{z} +
\frac{[\overline{U}(\mathfrak{A} - \beta \mathfrak{A}]\mathfrak{p} +
[\overline{U} (\mathfrak{B}) - \beta
\mathfrak{B}]\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
\\
+ \frac{[\overline{U} (C) - C ( \alpha + \beta)] (p\mathfrak{q} -
\mathfrak{p}q)}{z \mathfrak{z}} + \overline{U}D +
\\
+ \frac{A ( p\alpha + z \alpha_x - p \xi_x - q \eta_x) + B (q \alpha +
z \alpha_y - p \xi_y - q \eta_y)}{z}
\\
+ \frac{\mathfrak{A}(\mathfrak{p} \beta + \mathfrak{z} \beta_x -
\mathfrak{p} \xi_x - \mathfrak{q} \eta_x) + \mathfrak{B} (\mathfrak{q}
\beta + \mathfrak{z} \beta_y - \mathfrak{p} \xi_y - \mathfrak{q}
\eta_y)}{\mathfrak{z}}
\\
+ \frac{C [ ( p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)( \alpha + \beta - \xi_x -
\eta_y) + p\mathfrak{z}\beta_y - q\mathfrak{z}\beta_x -
\mathfrak{p}z\alpha_y +
\mathfrak{qz}\alpha_x]}{z
 \mathfrak{z}}
\\
+ (\xi_x + \eta_y) \left[ \frac{Ap + Bq}{z} +
\frac{\mathfrak{A}\mathfrak{p} +
\mathfrak{B}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} +
\frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D \right] =
0
\end{gather*}
und zerlegt sich daher in die sechs Gleichungen:
%-----File: 027.png----------------------------
\[\label{form1}
\left.
\begin{aligned}
  -C\beta_y &=  A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y,  \\
   C\beta_x &= -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y,  \\
   C\alpha_y &=-\mathfrak{B} \xi_y + \mathfrak{A} \eta_y
              + \xi \mathfrak{A}_x + \eta \mathfrak{A}_y,  \\
  -C\alpha_x &= \mathfrak{B} \xi_x - \mathfrak{A} \eta_x
              + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y,  \\
  0 &= \xi C_x + \eta C_y  \\
  0 &= D(\xi_x+\eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y
     + \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y,
\end{aligned}
\right\}
\tag{6}
\]
die in jedem einzelnen Falle die gesuchten infinitesimalen
Transformationen~$\Uf$ vollständig bestimmen.

Die Form dieser sechs Gleichungen zeigt, dass es einen wesentlichen
Unterschied macht, ob~$C$ eine Constante ist oder nicht. Die fünfte
Gleichung
\[
  \xi C_x + \eta C_y = 0
\tag{7}
\]
sagt, dass $C$ unter allen Umständen bei den infinitesimalen
Transformationen~$\Uf$ invariant bleibt. Ist daher~$C$ keine absolute
Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$, so ist~$C$
eine \emph{Invariante} nullter Ordnung gegenüber allen~$\Uf$, die somit
in diesem Falle sicher eine \emph{intransitive} Gruppe erzeugen. Ist~$C$
dagegen eine absolute Constante, so ist die Bedingung~(7) identisch
erfüllt, und dann kann die Gruppe, wie wir später sehen werden, unter
Umständen transitiv sein. \bigskip

Ehe wir zur Discussion aller möglichen Fälle übergehen, untersuchen wir
das Verhalten unseres Integrals bei Ausführung von Transformationen,
welche die kanonische Form der beiden infinitesimalen Transformationen
bewahren.

Wenn wir in die beiden infinitesimalen Transformationen:
\[
  X_1 f = z\frac{\partial f}{\partial z}, \quad
  X_2 f = \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
und die zugehörige Integralinvariante
\[
  \int \left( \frac{Ap + Bq}{z}
            + \frac{   \mathfrak{Ap} + \mathfrak{Bq}  }{ \mathfrak{z}}
            + \frac{ C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q) }{z\mathfrak{z}}
            + D
       \right) dx\, dy
\]
%-----File: 028.png----------------------------
die neuen Veränderlichen
\[
\tag{8} x_1=X(x, y),\ y_1=Y(x,y),\ z_1=z\theOmega(x,y),\
\mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y)
\]
einführen, so ist es unmittelbar klar, dass die beiden
infinitesimalen Transformationen ihre Form bewahren\anm{19}.
Hieraus lässt sich ohne Rechnung der Schluss ziehen, dass auch das
obenstehende Integral seine allgemeine Form bewahrt, wenn auch
seine Coefficienten~$A$, $B$, $C$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$
eine neue Gestalt erhalten.

Schon früher (S.~\pageref{satz1}) haben wir ja gesehen, dass jedes über
die
Mannigfaltigkeit $z = Z(x,y)$, $\mathfrak{z} = \mathfrak{Z}(x,y)$
erstreckte Integral $\int \psi \, dx\, dy$, dessen Argument~$\psi$
in den Grössen $p$, $q$, $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{q}$,
$(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)$ linear ist, bei \emph{jeder}
Punkttransformation
\[
x_1 = L(x,y,z,\mathfrak{z}),\ y_1 = M(\ldots),\ z_1 = N(\ldots),\
\mathfrak{z}_1 = P(\ldots)
\]
des vierfachen Raumes $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{z}$ seine
allgemeine Form bewahrt. Dies bleibt eo ipso insbesondere auch
dann wahr, wenn die Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
$\mathfrak{B}$, $C$, $D$ der Grösse
\[
\psi = \frac{Ap + Bq}{z} + \frac{\mathfrak{Ap} +
\mathfrak{Bq}}{\mathfrak{z}} + \frac{C(p\mathfrak{q} -
\mathfrak{p}q)}{\mathfrak{z}z} + D
\]
nur von $x$ und $y$ abhängen, und andererseits die
Variabeländerung die specielle Form~(8) besitzt. In diesem
besonderen Falle lässt sich überdies mit Leichtigkeit erkennen,
dass auch im transformierten Integral $\int \psi'\, dx_1\, dy_1$ die
Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$,
$C_1$ und $D_1$ der Grösse
\[
\psi' = \frac{A_1 p_1 + B_1 q_1}{z_1} + \frac{\mathfrak{Ap}_1 +
\mathfrak{Bq}_1}{\mathfrak{z}_1} + \frac{C_1(p_1 \mathfrak{q}_1 -
\mathfrak{p}_1 q_1)}{z_1\mathfrak{z}_1} + D_1
\]
nur von $x_1$ und $y_1$ abhängen. Dies folgt unmittelbar daraus,
dass die Transformation
\[
x_1 = X(x,y),\ y_1 = Y(x,y),\ z_1 = z\cdot \theOmega(x,y),\
\mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y)
\]
eben weil sie sowohl
\[
X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ \mathrm{wie }\ X_2f =
\mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
%-----File: 029.png----------------------------
invariant lässt, auch jedes bei $X_1 f$ und $X_2 f$ invariante Integral
in ein
Integral überführen muss, das ebenfalls bei diesen beiden
Transformationen
invariant bleibt. Das transformirte Integral:~$\int \psi'\, dx_1\,
dy_1$, dessen Argument
$\psi'$ jedenfalls in $p_1$, $q_1$, $\mathfrak{p}_1$, $\mathfrak{q}_1$
und $p_1 \mathfrak{q}_1 - \mathfrak{p}_1 q_1$ linear ist, bleibt
aber nur dann bei
\[
z_1 \frac{\partial f}{\partial z_1}\quad \mathrm{und}\quad
\mathfrak{z}_1 \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
\]
invariant, wenn die transformirten Coefficienten $A_1$, $B_1$,
$\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$ und~$C_1$ nur von~$x_1$ und~$y_1$
abhängen.

Indem wir diese Thatsache analytisch bestätigen, werden wir mehrere
weitergehende Resultate erhalten, die sich übrigens ebenfalls ohne
Rechnung
durch synthetische Betrachtungen herleiten liessen.

\bigskip

Wir tragen die Werthe $x_1=X(x,y),\ \ldots\ \mathfrak{z}_1 =
\mathfrak{z}\cdot V(x,y)$ in die
Gleichung
\[
dz_1 - p_1 dx_1 - q_1 dy_1 = 0
\]
ein und erhalten hierdurch eine in den Differentialen $dx$, $dy$
lineäre Relation
\begin{gather*}
\theOmega (pdx + qdy) + z(\theOmega_x\, dx + \theOmega_y\, dy) =\\
= p_1 (X_x\, dx + X_y\, dy) + q_1 (Y_x\, dx + Y_y\, dy),
\end{gather*}
die sich in die beiden Gleichungen
\begin{align*}
\theOmega p &= X_x p_1 + Y_x q_1 - z\theOmega_x,\\
\theOmega q &= X_y p_1 + Y_y q_1 - z\theOmega_y
\end{align*}
zerlegt. Dividieren wir sodann links und rechts mit der Grösse
\[
z_1 = z\theOmega,
\]
so erhalten wir zunächst die Formeln:
\begin{align*}
\frac {p}{z} &= X_x\frac{p_1}{z_1} + Y_x\frac{q_1}{z_1} -
\frac{\theOmega_x}{\theOmega},
\\
\frac {q}{z} &= X_y\frac{p_1}{z_1} + Y_y\frac{q_1}{z_1} -
\frac{\theOmega_y}{\theOmega},
\end{align*}
%-----File: 030.png----------------------------
sodann in entsprechender Weise die analogen Formeln:
\begin{align*}
  \mathfrak{\frac{p}{z}} &= X_x \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
                          + Y_x \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
                          - \frac{V_x}{V},
\\
  \mathfrak{\frac{q}{z}} &= X_y \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
                          + Y_y \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
                          - \frac{V_y}{V},
\end{align*}
und endlich die Gleichung\anm{20}:
\begin{multline*}
  \frac{p  \mathfrak{q  } - \mathfrak{p  }q  }{z  \mathfrak{z  }}
= \frac{p_1\mathfrak{q_1} - \mathfrak{p_1}q_1}{z_1\mathfrak{z_1}}
  (X_x Y_y - X_y Y_x)
\\
- \frac{p_1}{z_1}\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right)
- \frac{q_1}{z_1}\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right)
\\
+ \mathfrak{\frac{p_1}{z_1}}
  \left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
       - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right)
+
  \mathfrak{\frac{q_1}{z_1}}
  \left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
       - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right)
+
  \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}.
\end{multline*}

Diese Werthe tragen wir in den Ausdruck
\[
  \psi =    \frac{Ap + Bq}{z}
+ \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}}
+ \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
\]
ein und erinnern uns dabei, dass
\[
  \psi = \psi' \Delta
\]
ist, wenn wir die Funktionaldeterminante von~$X$ und~$Y$ nach~$x$
und~$y$
mit~$\Delta$ bezeichnen. Alsdann erhalten wir die Formeln\anm{+62}
\[\label{form5}
\tag{9}
\left.
\begin{aligned}
  C_1 &= C
\\
  \Delta\cdot A_1
&= AX_x + BX_y
 - C\left( X_x \frac{V_y}{V} - X_y \frac{V_x}{V} \right),
\\
  \Delta\cdot B_1
&= AY_x + BY_y
 - C\left( Y_x \frac{V_y}{V} - Y_y \frac{V_x}{V} \right),
\\
  \Delta\cdot \mathfrak{A}_1
&= \mathfrak{A} X_x + \mathfrak{B} X_y
 + C\left( X_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
         - X_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right),
\\
%-----File: 031.png----------------------------
  \Delta\cdot \mathfrak{B}_1
&= \mathfrak{A} Y_x + \mathfrak{B} Y_y
 + C\left( Y_x \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
         - Y_y \frac{\theOmega_x}{\theOmega} \right),
\\
  \Delta\cdot D_1
&= C\cdot \frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}
 - A \frac{\theOmega_x}{\theOmega}
 - B \frac{\theOmega_y}{\theOmega}
 - \mathfrak{A} \frac{V_x}{V}
 - \mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V}
 + D.
\end{aligned}
\right\}
\]

In diesen Untersuchungen spielt die Grösse:
\[
  \omega = CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B}
\]
eine hervortretende Rolle. Es lässt sich von vornherein erkennen, dass
diese Grösse bei \emph{jeder} Punkttransformation des Raumes $x$, $y$,
$z$, $\mathfrak{z}$ in dem Sinne als Invariante auftritt, dass das
Verschwinden oder Nichtverschwinden dieser Grösse von
Variabel-Aenderungen unberührt bleibt.

Um dies in einfacher Weise einzusehen, deuten wir wie früher die
Grössen
\[
  p, q, \mathfrak{p}, \mathfrak{q}, p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q
\]
als Liniencoordinaten des dreifachen ebenen Raumes $M_3$, der von allen
Linienelementen~$dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$; durch einen bestimmten
Punkt gebildet wird. Die Gleichung:
\[
0 = \psi \equiv \frac{Ap + Bq}{z}
+ \mathfrak{\frac{Ap + Bq}{z}}
+ \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + D
\]
definiert bei dieser Auffassung einen \emph{linearen Liniencomplex} des
Raumes~$M_3$, dessen Coordinaten $dx: dy: dz: d\mathfrak{z}$ bei der
Punkttransformation: $x_1 = X(x,y) \ldots \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
V(x,y)$ linear und homogen, nämlich durch die Gleichungen:
\begin{align*}
  dx_1 &= X_x dx + X_y dy, \qquad  dy_1 = Y_x dx + Y_y dy,
\\
  dz_1 &= \theOmega dz + z(\theOmega_x dx + \theOmega_y dy),
\\
  d\mathfrak{z}_1 &= V d\mathfrak{z} + \mathfrak{z}(V_x dx + V_y dy),
\end{align*}
transformirt werden. Aus der Liniengeometrie ist es aber bekannt, dass
bei dieser Transformation die Grösse
\[
  CD + \mathfrak{A} B - A \mathfrak{B} = \omega
\]
%-----File: 032.png----------------------------
im Sinne der projectiven Geometrie oder sagen wir lieber im Sinne der
\emph{Cayley}'schen Invariantentheorie sich als Invariante
verhält\anm{21}.

Analytisch ergiebt sich das hiermit gefundene Resultat unmittelbar, wenn
wir die obenstehenden Werthe der Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$,
$\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und~$D_1$ \label{form4} in den
Ausdruck: %% Das Original weist folgenden Druckfehler auf: $C_1D_1 +
          %% \mathfrak{A}_1\mathfrak{B}_1 - A_1\mathfrak{B}_1$
\[
C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1
\]
einführen. Hierbei erhalten wir nämlich die Formel:
\[\label{anm27}
\Delta(C_1D_1 + \mathfrak{A}_1B_1 - A_1\mathfrak{B}_1) = CD +
\mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}.
\]

Jetzt können wir noch weitere Schlüsse ziehen, die sich auf den
speciellen Fall:
\[
C = 0
\]
beziehen. In diesem Falle erhalten die obenstehenden Ausdrücke der
Grössen $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $D_1$ die
einfache Form
\begin{gather*}\label{form3}
\Delta\cdot A_1 = AX_x + BX_y,\qquad
\Delta\cdot B_1 = AY_x + BY_y\\
\Delta\cdot \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y,\qquad
\Delta\cdot \mathfrak{B}_1 = \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\
\Delta\cdot D_1 = - A\frac{\theOmega_x}{\theOmega} -
B\frac{\theOmega_y}{\theOmega} - \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} -
\mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D.
\end{gather*}

Die letzte Formel zeigt, dass es, sobald $A$, $B$, $\mathfrak{A}$
und~$\mathfrak{B}$ nicht sämmtlich gleich Null sind, immer möglich ist,
die Grössen~$\theOmega$ und~$V$ derart zu wählen, dass~$D_1$
verschwindet.

Ist überdies
\[
A\mathfrak{B}-\mathfrak{A}B \neq 0,
\]
so kann $X$ und $Y$ so gewählt werden, dass~$A_1$ und~$\mathfrak{B}_1$
gleich Null werden\anm{22}.
\bigskip

Wir wollen jetzt annehmen, dass der Coefficient $C$ constant ist.
Multiplicieren wir die auf Seite~\pageref{form1} gefundene Formel
\[
0 = D(\xi_x + \eta_y) + D_x\xi + D_y\eta + A\alpha_x + B\alpha_y
+\mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y
\]
%-----File: 033.png----------------------------
mit $C$ und tragen sodann in ihr die auf derselben Seite gegebenen
Werthe
der Grössen~$C\alpha_x$, $C\alpha_y$, $C\beta_x$, $C\beta_y$ ein, so
erhalten
wir, indem wir zur Abkürzung:
\[
CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B} = \omega
\]
setzen, die Gleichung
\[
\omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta = 0
\]
die uns zeigt, dass $\omega$ \emph{einen gemeinsamen Multiplicator
aller~$\Ubarf$ darstellt}\anm{23}.

Differentiiren wir andererseits die erste Gleichung (6) nach $x$ und die
zweite nach~$y$ und addieren die Resultate, so erhalten wir die
Integrabilitätsbedingung
\[
0 = \xi(A_{xx} + B_{xy}) + \eta(A_{xy} + B_{yy}) + (\xi_x + \eta_y)(A_x
+ B_y)
\]
oder wenn wir
\[
A_x + B_y = \varrho
\]
setzen, die Gleichung
\[
\varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0
\]
die uns zeigt, dass \emph{auch die Grösse $\varrho = A_x + B_y$ einen
gemeinsamen
Multiplicator aller~$\Ubarf$ liefert}.

Durch ganz analoge Behandlung der dritten und vierten Gleichung~(6)
erkennen wir, dass die Grösse
\[
\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
\]
die Gleichung
\[
\sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta = 0
\]
erfüllt und also \emph{wiederum einen gemeinsamen Multiplicator
aller~$\Ubarf$ darstellt}.

Wir fassen die bisherigen Resultate in der folgenden Weise zusammen:

\bigskip

\begin{satz}\label{anm32a}
Ist die Grösse $C$ eine Constante, so stellt eine jede unter
den drei Grössen
\begin{gather*}
\omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B},\\
\varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y\\
\end{gather*}
einen gemeinsamen Multiplicator aller $\Ubarf$ dar.
\end{satz}
%-----File: 034.png----------------------------

\bigskip

Indem wir jetzt weiter gehen, wollen wir zuerst ausdrücklich
voraussetzen,
dass die Constante~$C$ von Null verschieden ist; sodann erledigen
wir den Fall~$C = 0$, und schliesslich machen wir die Annahme, dass~$C$
keine Constante, sondern eine wirkliche Funktion von~$x$ und~$y$
darstellt.

\begin{center}
\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}

\subsection*{$\mathbf{C = Const. \neq 0.}$}
\label{case1} Ist $C$ constant und von Null verschieden, so sind die
Grössen~$\xi$ und~$\eta$ bestimmt durch die drei Gleichungen:
\begin{equation}
\tag{10}
\left.
\begin{aligned}
  \omega(\xi_x + \eta_y) + \omega_x\xi + \omega_y\eta&=&0\\
  \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta&=&0\\
  \sigma(\xi_x + \eta_y) + \sigma_x\xi + \sigma_y\eta&=&0
\end{aligned}
\right\}
\end{equation}
die in den Grössen
\[
\xi_x + \eta_y, \quad\xi, \quad\eta
\]
linear und homogen sind. Ist daher die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
\omega & \omega_x &\omega_y\\
\varrho & \varrho_x &\varrho_y\\
\sigma & \sigma_x &\sigma_y
\end{vmatrix}
\equiv\theTheta
\]
nicht identisch Null, so sind $\xi$ und $\eta$ alle beide gleich Null,
und dann
zeigen die vier ersten Gleichungen (6), die jetzt die Form
\[
\beta_y = 0,\ \beta_x = 0,\ \alpha_x = 0,\ \alpha_y = 0
\]
annehmen, dass $\alpha$ und $\beta$ Constante sind und dass $\Uf$ daher
die Form
\[
\mathrm{Const}\cdot z\frac{\partial f}{\partial z} +
\mathrm{Const}\cdot\mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
besitzt. In diesem Falle enthält die gesuchte Gruppe $G$ keine anderen
unabhängigen infinitesimalen Transformationen als
%-----File: 035.png----------------------------
\[
X_1f = z\frac{\partial f}{\partial z},\ X_2f
= \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\]

\bigskip

\label{case2} Verschwindet dagegen die Determinante $\theTheta$
identisch, während
ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht sämtlich gleich Null
sind, so reducieren sich die \emph{drei} Gleichungen~(10) auf
zwei unabhängige, die alle beide die Form
\begin{eqnarray*}
M(\xi_x + \eta_y) + M_x\xi + M_y \eta &=& 0,\\
N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y \eta &=& 0
\end{eqnarray*}
besitzen. Dann haben alle infinitesimalen Transformationen:
\[
\Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
f}{\partial y}
\]
zwei gemeinsame Multiplicatoren $M$ und $N$. Dementsprechend ist
das Verhältniss~$M : N$ eine gemeinsame Lösung aller Gleichungen
\[
0 = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
f}{\partial y} \equiv \Ubarf.
\]

Es ist nun immer möglich statt $x$ und $y$ zwei solche neue
Veränderliche
\[\label{form2}
x_1 = \frac{M}{N},\ y_1 = Y(x,y)
\]
einzuführen, dass
\[
M=x,\ N=1
\]
wird\anm{24}. Die Definitionsgl.\anm{+63} der
infinitesimalen Transformation
\[
\Ubarf = \xi \frac{\partial f}{\partial x} + \eta \frac{\partial
f}{\partial y}
\]
erhalten hierbei die Form:
\[
\Ubarf = \mu (x)\frac{\partial f}{\partial y}
\]
und die Transformation
%-----File: 036.png----------------------------
\[
  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
     + z\alpha(x,y) \frac{\partial f}{\partial z}
     + \mathfrak{z}\beta(x,y) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
wird bestimmt durch die Gleichungen:
\begin{align*}
  -C  \beta_y  &=  \mu(x) A_y  \\
   C  \beta_x  &= -A \mu'(x) + \mu(x) B_y  \\
   C \alpha_y &=  \mu(x) \mathfrak{A}_y  \\
  -C \alpha_x &= -\mathfrak{A} \mu'(x) + \mu(x) \mathfrak{B}_y.
\end{align*}

Die zugehörigen Integrabilitätsbedingungen
\[
  A_{xy} + B_{yy} = 0,\qquad
  \mathfrak{A}_{xy} + \mathfrak{B}_{yy} = 0
\]
werden in allgemeinster Weise befriedigt, wenn wir
\[
  A_x + B_y = X'(x),\qquad
  \mathfrak{A}_{x} + \mathfrak{B}_y = X'_1(x)
\]
und
\[
            A = X(x) + \theOmega_y, \quad            B = -\theOmega_x,
\quad
  \mathfrak{A} = X_1(x) + V_y,   \quad  \mathfrak{B} = -V_x
\]
setzen. Die entsprechenden Werthe der Grössen $\alpha$ und~$\beta$ sind
daher
\[
  \alpha = \frac{\mu(x)}{C} V_y + \frac{1}{C} \int X_1(x) d\mu, \qquad
  \beta  = -\frac{\mu\theOmega_y}{C} - \frac{1}{C} \int X d\mu.
\]

Führen wir hier neue Veränderliche ein, nämlich
\[
  x_1 = x,  \qquad  y_1 = y,  \qquad
  z_1 = ze^{-\frac{V}{C}},    \qquad
  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z} e^{\frac{\theOmega}{C'}},
\]
so sehen wir, dass wir in den früheren Formeln ohne Beschränkung
\[
  V=0,  \qquad  \theOmega=0
\]
setzen können.

Hierbei enthält unsere Integralinvariante die Form
\[
\tag{11}
  \int \left( \frac{X(x)p}{z}
            + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
            + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
            + D \right) dx\, dy
\]
%-----File: 037.png----------------------------
während
\[
\tag{12}
  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
     + \frac{1}{C}\left( \int X_1 \,d\mu \right)
       z \frac{\partial f}{\partial z}
     - \frac{1}{C}\left( \int X \,d\mu \right)
       \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
wird. Setzen wir $\mu=1$, so erkennen wir noch, dass $D$ eine Funktion
von~$x$ allein sein muss\anm{25}. Sind andererseits im Integrale~(11)
die Grössen~$X$, $X_1$ und~$D$ beliebige Funktionen von~$x$, die
jedenfalls nicht mehr als eine homogene lineare Gleichung
\[
  kX' + k_1 X'_1 + k_0 D = 0
\]
mit konstanten Coefficienten erfüllen, so besitzt die Gruppe des
Integrals~(11) die Form~(12)\anm{26}.

\bigskip

\label{case3} Jetzt nehmen wir an, dass nicht allein die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
  \omega  & \omega_x  & \omega_y   \\
  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
  \sigma  & \sigma_x  & \sigma_y
\end{vmatrix}
\]
der Grössen
$\omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}$,
$\varrho = A_x + B_y$,
$\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y$ sondern
auch alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden, während
die drei Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ nicht sämmtlich
gleich Null sind.

In diesem Falle reduciren sich die drei Gleichungen
\[
\tag{10}
\left.
\begin{aligned}
  \omega (\xi_x + \eta_y) + \omega_x \xi + \omega_y \eta &= 0  \\
  \varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta &= 0  \\
  \sigma (\xi_x + \eta_y) + \sigma_x \xi + \sigma_y \eta &= 0
\end{aligned}
\right\}
\]
auf eine einzige Gleichung
\[
  N(\xi_x + \eta_y) + N_x\xi + N_y\eta = 0
\]
und dabei können wir ohne Beschränkung annehmen (das heisst, wir können
durch eine passende Variabeländerung erreichen) dass~$N$ gleich Eins
wird\anm{27}.

Die Definitionsgleichung
\[
  \xi_x + \eta_y = 0
\]
%-----File: 038.png----------------------------
zeigt, dass wir
\[
  \xi  = W_y,\quad
  \eta =-W_x
\]
setzen können und dass die Funktion $W(x,y)$ ganz beliebig gewählt
werden
kann.

Die Gleichungen (10) erhalten jetzt die Form
\[
  \omega_x W_y - \omega_y W_x=0,\quad
  \varrho_x W_y-\varrho_y W_x=0,\quad
  \sigma_x W_y - \sigma_y W_x=0
\]
und sie sollen bestehen, \emph{welche Funktion von~$x$, $y$ die
Grösse~$W$ sein
möge}. Also sind~$\omega$, $\varrho$ und~$\sigma$ drei Constanten, die
aber nicht sämmtlich
gleich Null sein können\anm{28}.

Es ist also
\begin{flalign*}
&\phantom{(k_i=\text{Const.})}&
& \omega=k_1,\quad \varrho=k_2,\quad
  \sigma=k_3
& (k_i=\text{Const.}) &
\end{flalign*}
oder
\begin{gather*}
  CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B}=k_1 \\
  A_x + B_y = k_2 \\
  \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y=k_3
\end{gather*}
woraus
\[
  A = k_2 x + \varOmega_y, \quad
  B = -\varOmega_x, \quad
  \mathfrak{A} = k_3 x + V_y, \quad
  \mathfrak{B} = -V_x ;
\]
und es ergiebt sich genau wie im vorigen Falle, dass wir ohne
Beschrän\-kung $\varOmega=V=0$ setzen können, so dass unser Integral die
Form:
\[
  \tag{13}
  \int \left( \frac{k_2\: xp}{z} + \frac{k_3\:
x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
    + \frac{C(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} + k_4
\right) dx\:dy
\]
annimmt, wobei $k_4$ eine Constante bezeichnet. Ist andererseits~$C$ von
Null verschieden, und sind die drei Constanten~$k_2$, $k_3$, $k_4$
nicht sämmtlich
gleich Null, so entspricht das obenstehende Integral immer den hier
gemachten Voraussetzungen.

Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ sind bestimmt
durch die Gleichungen~(6), die durch Substitution der Werthe
\[
  A=k_2\, x,\quad B=0,\quad \mathfrak{A}=k_3\, x, \quad
  \mathfrak{B}=0,\quad \xi=W_y,\quad \eta=-W_x
\]
die Form
%-----File: 039.png----------------------------
\begin{align*}
 -C\beta_y &= -k_2 x W_{xy} + k_2 W_y  \\
  C\beta_x &=  k_2 x W_{xx}            \\
 C\alpha_y &= -k_3 x W_{xy} + k_3 W_y  \\
-C\alpha_x &=  k_3 x W_{xx}
\end{align*}
annehmen. Es ist daher
\begin{align*}
  C\beta &= k_2 x W_x-k_2 W+ \text{Const.}  \\
-C\alpha &= k_3 x W_x-k_3 W+ \text{Const.}
\end{align*}
und
\[
\begin{split}
\Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x} - W_x \frac{\partial
f}{\partial y}
&- (k_3 x W_x - k_3W + \textrm{Const.}) z \frac{\partial f}{\partial z}
\\
&+ (k_2 x W_x - k_2W + \textrm{Const.}) \mathfrak{z} \frac{\partial
f}{\partial \mathfrak{z}}.
\end{split}
\tag{14}
\]

\bigskip

Es erübrigt noch, den Fall
\[\label{case4}
\omega=0, \qquad \varrho \equiv A_x + B_y= 0, \qquad
  \sigma \equiv \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B} = 0
\]
zu erledigen. In diesem Fall ist
\[
A=\varOmega_x, \qquad B=-\varOmega_y, \qquad
  \mathfrak{A}=V_x, \qquad  \mathfrak{B}=-V_y
\]
und wir erkennen wie früher, dass wir~$\varOmega$ und~$V$ ohne
Beschränkung gleich
Null und dementsprechend
\[
A=0, \qquad  B=0, \qquad  \mathfrak{A}=0, \qquad  \mathfrak{B}=0
\]
setzen können, und da $\omega=0$ ist, so folgt, dass auch
\[
D=0
\]
sein muss. Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also im
vorliegenden Falle
\[
 \int \frac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}} dx \, dy.
\]

[Wenn wir alle diese Resultate zusammenfassen, können wir folglich
das Theorem aussprechen\anm{+64}:] % original had a 29) marker here
%-----File: 040.png----------------------------

\begin{theorem} Bleibt das über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten:\\
$z=Z(x,y)$, $\mathfrak{z}=\mathfrak{Z}(x,y)$ erstreckte Integral
\[
  \int \Big(
    \alpha p + \beta q + \gamma\mathfrak{p} + \delta\mathfrak{q} +
    \varepsilon(p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q) + \varphi
  \Big) dx\,dy
\]
invariant bei den beiden infinitesimalen Transformationen
\[
  X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z},\quad
  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}},
\]
und haben die Coefficienten $\alpha, \beta, \ldots \varphi$ in Folge
dessen die Form
\[\wideeqn
  \alpha = \frac{A(x,y)}{z},\
  \beta  = \frac{B(x,y)}{z},\
  \gamma = \frac{\mathfrak{A}(x,y)}{\mathfrak{z}},\
  \delta = \frac{\mathfrak{B}(x,y)}{\mathfrak{z}},\
  \varepsilon = \frac{C(x,y)}{\mathfrak{z}z},\
  \varphi= D(x,y);
\]
ist ferner
\[
  \Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x} +
      \eta\frac{\partial f}{\partial y} +
     \zeta\frac{\partial f}{\partial z} +
 \vartheta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
die allgemeinste infinitesimale Transformation, die~$X_1 f$, $X_2 f$ und
das obenstehende Integral invariant lässt, und ist endlich die
Grösse~$C$ eine von Null verschiedene Constante, so sind~$\xi(x,y)$
und~$\eta(x,y)$ Funktionen von~$x$ und~$y$, die durch die Gleichungen
\begin{widegather*}
  (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})(\xi_x + \eta_y) +
    (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_x \cdot \xi +
    (CD+\mathfrak{A}B-A\mathfrak{B})_y \cdot \eta = 0 \\
  (A_x + B_y)(\xi_x + \eta_y) + (A_x + B_y)_x \cdot \xi +
    (A_x + B_y)_y \cdot \eta = 0 \\
  (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) +
    (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x \cdot \xi +
    (\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y \cdot \eta = 0
\end{widegather*}
bestimmt werden. Die Incremente $\zeta$ und $\vartheta$ besitzen die
Form
\[
  \xi = z \cdot \alpha(x,y),\quad
  \vartheta = \mathfrak{z} \cdot \beta(x,y)
\]
und dabei werden $\alpha$ und $\beta$ durch Quadratur der immer
integrablen
Gleichungen
\begin{align*}
  -C\beta_y &=
    A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\
  C \beta_x &=
   -A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\
  C \alpha_y &=
   -\mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi \mathfrak{A}_x + \eta
\mathfrak{A}_y, \\
  -C\alpha_x &=
    \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta
\mathfrak{B}_y
\end{align*}
%-----File: 041.png----------------------------
gefunden. Hier können vier wesentlich verschiedene Fälle eintreten. Ist
die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
  \omega   &  \omega_x &  \omega_y  \\
  \varrho  & \varrho_x & \varrho_y  \\
  \sigma   &  \sigma_x &  \sigma_y
\end{vmatrix} = \theTheta
\]
von Null verschieden\anm{29}\label{anm29}, so ist $\xi=\eta=0$,
$\alpha=\text{Const.}$, $\beta=\text{Const.}$
\[
  \Uf = \text{ Const. } z \frac{\partial f}{\partial z}
     + \text{ Const. } \mathfrak{z}
       \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\]
Durch ein passende Variabel-Änderung kann man immer erreichen, dass
$A=0$, $\mathfrak{A}=0$ wird.

Verschwindet die dreireihige Determinante $\theTheta$, während ihre
zweireihigen
Unterdeterminanten nicht sämmtlich gleich Null sind, so kann
die Integralinvariante auf die kanonische Form\anm{+65}
\[
  \int\left( \frac{X(x)p}{z}
           + \frac{X_1(x)\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
           + C\cdot\dfrac{p\mathfrak{q} -
             \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}
           + D(x) \right) dx\, dy
\]
gebracht werden, während\anm{+66}
\[
  \Uf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial x}
     + \dfrac1C\left( \int X_1\, d\mu \right)
     z \frac{\partial f}{\partial z}
     -\dfrac1C\left( \int X \, d\mu \right)
     \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
ist.

Verschwinden auch die zweireihigen Unterdeterminanten, während~$\omega$,
$\varrho$ und~$\sigma$ nicht sämmtlich gleich Null sind, [so kann die
Integralinvariante auf die kanonische Form
\[
  \int\left( \frac{k_2\: xp}{z}
           + \frac{k_3\: x\mathfrak{p}}{\mathfrak{z}}
           + \frac{C(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
           + k_4 \right) dx\, dy
\]
gebracht werden, wo $k_2$, $k_3$ und $k_4$ Constanten bezeichnen, die
nicht sämmtlich gleich Null sind, und die zugehörige infinitesimale
Transformation~$\Uf$ ist:
\begin{gather*}
  \Uf = W_y \frac{\partial f}{\partial x}
     - W_x \frac{\partial f}{\partial y}
     - ( k_3 xW_x - k_3 W + \text{const.})
       z \frac{\partial f}{\partial z}
\\
     + ( k_2 xW_x - k_2 W + \text{const.})
       \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\end{gather*}
%-----File: 042.png----------------------------

Wenn endlich alle drei Grössen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ gleich
Null sind, so
kann die Integralinvariante auf die kanonische Form
\[
\int\frac{p\mathfrak{q}-\mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}\,dx\,dy
\]
gebracht werden und die zugehörige infinitesimale Transformation hat
die Form
\[
\Uf = \xi\frac{\partial f}{\partial x}
   + \eta\frac{\partial f}{\partial y}
   + z\alpha\frac{\partial f}{\partial z}
   + \mathfrak{z}\beta\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ ganz beliebige Funktionen von x
und y sind]\anm{30}.
\end{theorem}

\begin{center}
\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}

\subsection*{$\mathbf{C = 0.}$}
Hiermit kennen wir alle Fälle, die eintreten können, wenn $C$ eine von
Null verschiedene Constante darstellt. Jetzt setzen wir voraus, dass~$C
= 0$
ist und finden dabei zweckmässig zwischen zwei Unterfällen zu
unterscheiden
je nachdem die Grösse\label{case5}
\[
\omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B
\]
von Null verschieden oder gleich Null ist. Seien zunächst:
\[
\mathbf{C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0 }
\]

Ist $C = 0$, so erhalten die Gleichungen (6) die einfache Form
\[
\left.
\begin{aligned}
&0 =   A\eta_y - B\xi_y + \xi A_x + \eta A_y, \\
&0 = - A\eta_x + B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y, \\
&0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x +
\eta\mathfrak{A}_y, \\
&0 =   \mathfrak{B}\xi_x + \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x +
\eta\mathfrak{B}_y, \\
&0 =   D(\xi_x + \eta_y ) + \xi D_x + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y
+ \mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y
\end{aligned}
\right\}
\tag{15}
\]

Da wir nun überdies angenommen haben, dass die Grösse $A\mathfrak{B} -
\mathfrak{A}B$
von Null verschieden ist, so können wir die erste und dritte Gleichung
%-----File: 043.png----------------------------
nach~$\xi_y$ und~$\eta_y$ auflösen, und ebenfalls aus der zweiten und
vierten Gleichung
die Grössen $\eta_x$ und $\xi_x$ bestimmen. Die Form dieser
Auflösungen:\label{anm32b}
\begin{align*}
&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \eta_y
   + (\mathfrak{B}A_x - B\mathfrak{A}_x) \xi
   + (\mathfrak{B}A_y - B\mathfrak{A}_y) \eta, \\
&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \xi_y
   + (\mathfrak{A}A_x - A\mathfrak{A}_x) \xi
   + (\mathfrak{A}A_y - A\mathfrak{A}_y) \eta, \\
&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \eta_x
   + (B\mathfrak{B}_x - \mathfrak{B}B_x) \xi
   + (B\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y) \eta, \\
&0 = (A\mathfrak{B}   - \mathfrak{A}B)   \xi_x
   + (A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x) \xi
   + (A\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}B_y) \eta
\end{align*}
zeigt, dass die durch Integration dieser Gleichungen hervorgehenden
Ausdrücke
für $\xi$ und $\eta$ höchstens zwei willkürliche Constante
enthalten\anm{31}.
Die verkürzten infinitesimalen Transformationen
\[
\Ubarf
 = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
 + \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
bilden daher immer eine \emph{endliche} Gruppe, die höchstens zwei
Parameter
enthält.

Indem wir genau wie im vorigen Falle\anm{32} verfahren, erhalten wir die
drei Gleichungen:
\[
\left.
\begin{aligned}
\omega(\xi_x + \eta_y)  + \omega_x\xi  + \omega_y\eta = 0& \\
\varrho(\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0& \\
\sigma(\xi_x + \eta_y)  + \sigma_x\xi  + \sigma_y\eta = 0& \\
\end{aligned}
\tag{16}
\right\}
\]
in denen $\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ die Werthe
\[
\begin{aligned}
&\omega = A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \\
\varrho = A_x &+ B_y,\qquad
\sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
\end{aligned}
\]
haben. Dabei erinnern % Original: erinneren
wir uns, dass wir ausdrücklich vorausgesetzt
haben, dass die Grösse~$\omega$ von Null verschieden ist.

Es ist immer möglich, (vgl.~S.~\pageref{form2}) statt $x$ und $y$
solche Grössen
\[
x_1 = X(x,y), \qquad y_1 = Y(x,y)
\]
als unabhängige Veränderliche einzuführen, dass die erste Gleichung~(16)
die Form
\[
\xi_x + \eta_y = 0
\]
%-----File: 044.png----------------------------
annimmt, und dass $\omega$ den Werth
\[
\omega \equiv A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B = 1
\]
erhält\anm{33}. Alsdann haben alle verkürzten infinitesimalen
Transformationen
$\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ die Form:
\[
V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

\bigskip

Wir wollen zunächst annehmen, dass die Gruppe dieser verkürzten
infinitesimalen Transformationen zwei Parameter enthält. Alsdann können
wir immer die beiden betreffenden infinitesimalen Transformationen auf
die Form
\[
\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}},
\qquad
V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
bringen\anm{34}. Dabei können, wie wir wissen, zwei wesentlich
verschiedene Fälle eintreten\anm{35}. Ist
\[
\left(
\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}},
\quad
V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
\right)
= \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
oder
\[
V_{yy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_{xy}\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
= \dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
und
\[
V_{yy} = 0, \qquad V_{xy} = - 1,
\]
so kommt
\[
V_y = - x, \qquad V = -xy + X_1(x)
\]
oder
\[
V_y\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
= - x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}}
+ (y - X'_1)\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

Wir können überdies ohne Beschränkung $X'_1 = 0$ setzen\anm{36}, so dass
unsere beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form
\[
\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad
x\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}} - y\dfrac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
annehmen.

Um nun die Form der Coefficienten $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
$\mathfrak{B}$ zu finden, setzen wir in den Gleichungen~(15)
zunächst~$\xi = 0$, $\eta = 1$ und erkennen so, dass jene vier
Coefficienten sämmtlich von~$y$ frei sind. Sodann ertheilen wir in den
Gleichungen~(15) den Grössen~$\xi$ und~$\eta$ die Werthe
%-----File: 045.png----------------------------
\[
\xi=x, \qquad \eta = - y
\]
und erhalten so die Differentialgleichungen
\begin{align*}
0 = - A + x\dfrac{\partial{A}}{\partial{x}}, &&&
0 = - \mathfrak{A} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{A}}}{\partial{x}}, \\
0 =   B + x\dfrac{\partial{B}}{\partial{x}}, &&&
0 =   \mathfrak{B} + x\dfrac{\partial{\mathfrak{B}}}{\partial{x}},
\end{align*}
die uns zeigen, dass unsere Coefficienten die Form
\[
A = mx,\qquad
\mathfrak{A} = \mu x, \qquad
B = \frac{n}{x}, \qquad
\mathfrak{B} =  \frac{\nu}{x}.
\]
besitzen. Und dabei ist die Constante
\[
A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \equiv m\nu - \mu n = 1.
\]

Unsere Integralinvariante hat bei dieser Wahl der un\-ab\-hän\-gi\-gen
Ver\-än\-der\-lichen
die Form
\[
\int \left(
   \frac{mxp + \dfrac{n}{x}q}{z}
+  \frac{\mu x\mathfrak{p} + \dfrac{\nu}{x}\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
+ D \right)\;dx\;dy
\]
wo wir (vgl.~S.~\pageref{form3})
\[
m\nu - \mu n = 1\quad \text{ und } D = 0
\]
setzen können.

Die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ haben die Form:
\[
\Uf = \text{Const.}\left(
  x\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
- y\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\right)
+ \text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
+ \alpha z\frac{\partial{f}}{\partial{z}}
+ \beta\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\tag{17}
\]
wo $\alpha$ und $\beta$ durch die Bedingungsgleichung:
\[
\xi D_x + \eta D_y + mx\alpha_x + \frac{n}{x}\alpha_y + \mu x\beta_x +
\frac{\nu}{x}\beta_y = 0
\]
gebunden sind\anm{37}.

Hiermit ist die Annahme, dass die beiden verkürzten infinitesimalen
Transformationen
%-----File: 046.png----------------------------
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{y}} \text{ und }
V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
nicht vertauschbar sind, erledigt.

\bigskip

\label{case6} Wir wollen daher jetzt voraussetzen, dass die beiden
Transformationen
vertauschbar sind, und dass dementsprechend
\[
V_{yy}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_{xy}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = 0
\]
oder
\[
V_{yy} = 0,\qquad
V_{xy} = 0
\]
und
\[
V = ky + X_1(x)
\]
ist. Als dann wird
\[
V_y\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
V_x\frac{\partial{f}}{\partial{y}} =
  k\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
  X_1'\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

Hier können wiederum zwei wesentlich verschiedene Unterfälle eintreten,
jenachdem~$k$ gleich Null oder von Null verschieden ist.

Ist die Constante $k$ von Null verschieden, so können wir
\[
k = 1,\qquad X_1' = 0
\]
setzen, sodass unsere verkürzten infinitesimalen Transformationen die
Form
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \qquad
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
\]
erhalten\anm{38}. Um jetzt die entsprechende Form der
Integralinvariante zu finden,
benutzen wir wiederum die Gleichungen~(15) in denen wir zunächst
\[
\xi = 0,\qquad \eta = 1
\]
und sodann
\[
\xi = 1,\qquad \eta = 0
\]
setzen können. Dabei ergiebt sich, dass die vier Coefficienten, $A$,
$B$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$
sämmtlich von~$x$ und~$y$ frei sind.

Unsere Integralinvariante erhält somit die Form
\[
\int \left(
\frac{mp + nq}{z} +
\frac{\mu\mathfrak{p}+ \nu\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} + D
\right)\;dx\;dy
\]
%-----File: 047.png----------------------------
und dabei sind $m$, $n$, $\mu$ und $\nu$ Constanten, während~$D$ eine
Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt, die gleich Null gesetzt werden kann,
indem die Constanten~$m$, $n$, $\mu$, $\nu$, die ja die Bedingung
\[
m\nu - \mu n = 1
\]
erfüllen, nicht sämmtlich verschwinden dürfen\anm{39}.

\bigskip

\label{case7} Ist die früher besprochene Constante $k$ gleich Null, so
können die
beiden verkürzten infinitesimalen Transformationen die Form
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{y}},\qquad
x\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
erhalten\anm{40}. In den Gleichungen (15) müssen wir also zuerst:
\[
\xi = 0,\qquad \eta = 1
\]
und sodann
\[
\xi = 0,\qquad \eta = x
\]
setzen. Dabei ergiebt sich, dass
\[
A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
\]
sind. Da wir aber ausdrücklich vorausgesetzt haben, dass die Grösse
$A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B$ von Null verschieden sein soll, so sehen
wir, das unsere letzte Hypothese zu Widerspruch führt.

\bigskip

\label{case8} Nachdem hiermit alle Fälle erledigt sind, bei denen die
infinitesimalen
Transformationen
\[
\Ubarf =
\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
eine zweigliedrige Gruppe erzeugen, wollen wir annehmen dass nur
eine~$\Ubarf$ vorhanden ist, die dann ohne Beschränkung auf die Form
\[
\Ubarf = \frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
%-----File: 048.png----------------------------
gebracht werden kann. Setzen wir aber in den Gleichungen~(15):
\[
\xi = 0,\qquad \eta = 1
\]
so erkennen wir, dass die vier Coefficienten, $A$, $B$, $\mathfrak{A}$,
$\mathfrak{B}$ von~$y$ frei sind. Die zugehörige Integralinvariante hat
somit die Form:
\[
\int\left(
\frac{A(x)p + B(x)q}{z} +
\frac{\mathfrak{A}(x)\mathfrak{p} +
\mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}} +
D\right) dx\, dy
\]
und dabei können wir durch Einführung zweckmässiger neuer Veränderlichen
\[
x_1 = \varphi(x),\qquad
y_1 = \frac{1}{\varphi(x)}y +
\psi(x)
\]
erreichen, dass $B$ und $\mathfrak{A}$ gleich Null werden\anm{41}; wir
können überdies auch~$D = 0$ setzen. Unser Integral erhält also die
einfache Form
\[
\int\left(
\frac{A(x)p}{z} +
\frac{\mathfrak{B}(x)\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
\right) dx\, dy
\]

\bigskip

\label{case9} Hiermit\anm{42} ist unsere Discussion der Hypothese $C =
0$, $A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0$ zum Abschluss gebracht. Wir
können daher jetzt die nächste Hypothese
\[
  \pmb{C} \pmb{=} \pmb{0},\qquad
  \pmb{A}\pmb{\mathfrak{B}} \pmb{-} \pmb{\mathfrak{A}}\pmb{B} \pmb{=}
\pmb{0}
\]
im Angriff nehmen.

Bei passender Wahl der unabhängigen Veränderlichen können wir erreichen,
dass~$A = 0$ wird und dass in Folge dessen auch~$\mathfrak{A}B$
verschwindet\anm{43}. Es ist daher auch die eine unter den beiden
Grössen~$\mathfrak{A}$ und~$B$ gleich Null. Setzen wir zunächst:
\[
C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0
\]
so wird
\[
\begin{aligned}
B\xi_y = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_y = 0\qquad& \\
B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y &= 0 \\
\mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x + \eta \mathfrak{B}_y &= 0 \\
D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y +
\mathfrak{B}\beta_y &= 0.
\end{aligned}
\]
%-----File: 049.png----------------------------

Hier ist es nun zunächst denkbar, dass
\[
B = 0,\qquad  \mathfrak{B} = 0
\]
sind. In diesem Falle sind $\xi$, $\eta$ und $D$ nur durch eine einzige
Bedingungsgleichung,
nämlich % Original: nähmlich
\[
D(\xi_x + \eta_y) +
\xi D_x + \eta D_y = 0
\]
gebunden. Dabei können wir durch passende Wahl der Veränderlichen
erreichen, dass~$D = 1$ wird\anm{44}. Hierbei erhält unsere
Integralinvariante
die kanonische Form
\[
\int\;dx\;dy,
\]
während die Gruppe der $\Ubarf$ die bekannte Form
\[
\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
annimmt. Die Grössen $\alpha$ und $\beta$ sind dabei ganz beliebige
Funktionen
von~$x$ und~$y$.

\bigskip

\label{case10} Es ist ferner denkbar, dass die beiden Grössen $B$
und~$\mathfrak{B}$ sich nur um einen constanten Faktor unterscheiden,
dass also
\[
\mathfrak{B} = kB, \qquad B \neq 0.
\]
Alsdann erfüllen $\xi$ und $\eta$ zwei und nur zwei
Bedingungsgleichungen,
nämlich:
\[
\xi_y = 0,\qquad B\xi_x + B_x\xi + B_y\eta = 0.
\]
Ist dabei $B_y$ verschieden von Null, so sehen wir, dass $\xi$ eine
willkürliche % Original: wilkürliche
Funktion von~$x$ sein kann und dass~$\eta$ vollständig
bestimmt ist, wenn für~$\xi$ eine bestimmte Funktion von~$x$ genommen
wird\anm{45}.

\bigskip

\label{case11} Ist andererseits $B_y = 0$, so wird
\begin{gather*}
\xi_y = 0, \qquad B\xi_x + B_x\xi = 0 \\
D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y + kB\beta_y = 0
\end{gather*}
%-----File: 050.png----------------------------
und
\[
  B = B(x),\qquad
  \xi = \frac{m}{B(x)}.
\]

In diesem Fall ist also die Form des Incrementes $\xi$ vollständig
bestimmt.
Es ist ferner möglich solche neue Veränderliche
\[
  x_1 = \varphi (x),\quad
  y_1 = \psi (x,y),\quad
  z_1 = z\varOmega(x,y),\quad
  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}V(x,y)
\]
einzuführen, dass
\[
  B(x) = 1,\qquad
  D(x,y) = 0
\]
wird\anm{46}. Unsere Integralinvariante erhält hierbei die Form
\[
\int \left(\frac{q}{z} + \frac{k\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\right) dx\,
dy
\]
und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen $\Uf$ sind
bestimmt\anm{47}
durch die Gleichungen
\[
  \xi_y = 0,\quad
  \xi_x = 0,\quad
  \alpha_y+k\beta_y = 0
\]
die uns zeigen, dass $\xi$ gleich $1$ gesetzt werden kann,
während~$\eta$ eine willkürliche Funktion von~$x$ und~$y$ darstellt und
die Incremente~$\alpha$, $\beta$ durch die Gleichung
\[
\alpha + k\beta + \psi(x) = 0
\]
mit der willkürlichen Funktion $\psi(x)$ gebunden sind.

\bigskip

\label{case12} Es ist endlich denkbar, dass sowohl $B$ wie
$\mathfrak{B}$ von Null verschieden sind, und dass dabei ihr Verhältniss
eine Funktion von~$x$, $y$ darstellt. Alsdann erfüllen die Incremente
der gesuchten infinitesimalen Transformationen~$\Uf$\anm{47} \emph{vier}
Bedingungsgleichungen
\begin{gather*}
  \xi_y = 0,\qquad
  D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + B\alpha_y +
\mathfrak{B}\beta_y = 0\\
  B\xi_x + \xi B_x + \eta B_y = 0,\qquad
  \mathfrak{B}\xi_x + \xi\mathfrak{B}_x + \eta\mathfrak{B}_y = 0
\end{gather*}
aus denen durch Elimination die Gleichung
\[
\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\xi +
\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\eta = 0
\]
%-----File: 051.png----------------------------
hervorgeht. Im vorliegenden Fall ist somit das Verhältniss $B :
\mathfrak{B}$ eine
Invariante der verkürzten infinitesimalen Transformationen~$\Ubarf$.
Wir finden
\[
(B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y)\,\xi_x + \xi\, (B_x\mathfrak{B}_y
- \mathfrak{B}_xB_y) = 0.
\]

Ist daher
\[
B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y \neq 0
\]
so hat $\xi$ eine ganz bestimmte Form, und da $B_y$ und~$\mathfrak{B}_y$
nicht alle beide verschwinden, so ist auch die Form von~$\eta$
vollständig bestimmt\anm{48}. Unter den gemachten Voraussetzungen giebt
es also nur eine infinitesimale Transformation~$\xi\frac{\partial
f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$.

\bigskip

\label{case13} Ist dagegen
\[
  B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0,\qquad
  B \neq 0,\qquad
  \mathfrak{B} \neq 0
\]
und dementsprechend
\[
\mathfrak{B} = B\cdot\varphi(x)
\]
und
\[
\xi(B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y) = 0,
\]
so kann
\[
  B_y \neq 0 \text{ und also auch } \mathfrak{B}_y \neq 0
\]
sein, in Folge dessen
\[
B_x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}_xB_y \neq 0
\]
und
\[
  \xi = 0,       \qquad
  \eta B_y = 0,  \qquad
  \eta = 0.
\]

In diesem Falle\anm{49} giebt es also gar keine infinitesimale
Transformation
$\xi\frac{\partial f}{\partial x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$.

\bigskip

\label{case14} Unter den gemachten Voraussetzungen
\[
  B\,\mathfrak{B}_y - \mathfrak{B}B_y = 0,  \qquad
  \mathfrak{B} = B\cdot \varphi (x) \neq 0
\]
können wir aber auch
\[
  B_y = 0,  \qquad
  \mathfrak{B}_y = 0
\]
und             dementsprechend
%-----File: 052.png----------------------------
\[
B_x\mathfrak{B}_y - B_y \mathfrak{B}_x = 0
\]
setzen. Alsdann wird
\[
B\xi_x + \xi B_x = 0,\qquad \mathfrak{B}\xi_x + \xi \mathfrak{B}_x = 0
\]
und da das Verhältniss $\mathfrak{B} : B$ keine Constante sein darf,
folgt
\[
\xi = 0,
\]
während $\eta$ vollständig unbestimmt bleibt\anm{50}.

\bigskip

\label{case15} Wir wenden uns sodann zu der Hypothese
\[
C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  B = 0,\qquad  \mathfrak{A} \neq 0.
\]
Alsdann kriegen wir zur Bestimmung der infinitesimalen
Transformation~$\Uf$ die Gleichungen
\[
\begin{aligned}
&0 = - \mathfrak{B}\xi_y + \mathfrak{A}\eta_y + \xi\mathfrak{A}_x +
\eta\mathfrak{A}_y \\
&0 =   \mathfrak{B}\xi_x - \mathfrak{A}\eta_x + \xi\mathfrak{B}_x +
\eta\mathfrak{B}_y \\
&0 =   D(\xi_x + \eta_y) + \xi D_x + \eta D_y + \mathfrak{A}\beta_x +
\mathfrak{B}\beta_y
\end{aligned}
\]
aus denen wie bekannt die Integrabilitätsbedingung
\[
(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)(\xi_x + \eta_y) +
(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_x\xi +
(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y)_y\cdot\eta = 0
\]
hervorgeht.

Ist hier
\[
\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 0
\]
und dementsprechend
\[
\mathfrak{A} = \frac{\partial{W}}{\partial{y}}, \qquad
\mathfrak{B} = - \frac{\partial{W}}{\partial{x}}
\]
so sind $\xi$ und $\eta$ durch die beiden Gleichungen
\[
\begin{aligned}
&0 = W_{\!x}\,\xi_y + W_y\,\eta_y + \xi W_{xy} + \eta W_{yy}\\
&0 = W_{\!x}\,\xi_x + W_y\,\eta_x + \xi W_{xx} + \eta W_{xy}
\end{aligned}
\]
bestimmt und aus ihnen folgt durch Integration:
%-----File: 053.png----------------------------
\[
W_{\!x}\,\xi + W_y\,\eta = \mathrm{Const.} = k.
\]

In dem vorliegenden Falle kann daher eines unter den beiden
Incrementen~$\xi$ und~$\eta$ eine ganz beliebige Funktion von~$x$, $y$
sein\anm{51}.

\bigskip

\label{case16} Ist dagegen die Grösse
\[
\varrho=\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
\]
von Null verschieden, so zeigt die Gleichung
\[
\varrho (\xi_x + \eta_y) + \varrho_x\xi + \varrho_y\eta = 0
\]
dass die infinitesimalen Transformationen $\xi\frac{\partial f}{\partial
x} + \eta\frac{\partial f}{\partial y}$ den gemeinsamen Multiplicator
$\varrho$ haben.

Führen wir jetzt neue Veränderliche
\[
x_1=X(x,y),\qquad y_1=Y(x,y),\qquad z_1=z\varOmega(x,y),\qquad
\mathfrak{z}_1=\mathfrak{z}V(x,y)
\]
ein, so sind die neuen Coefficienten $A_1$, $B_1$, $\mathfrak{A}_1$,
$\mathfrak{B}_1$, $C_1$ und $D_1$ (vgl.\ Seite~\pageref{form4}) durch
die Formeln:
\begin{align*}
  \Delta A_1 &=
    AX_x + BX_y\\
  \Delta B_1 &=
    AY_x + BY_y\\
  \Delta \mathfrak{A}_1 &=
    \mathfrak{A}X_x + \mathfrak{B}X_y\\
  \Delta \mathfrak{B}_1 &=
    \mathfrak{A}Y_x + \mathfrak{B}Y_y\\
  C_1 &=
    C = 0\\
  \Delta D_1 &=
    - A\frac{\varOmega_x}{\varOmega} - B\frac{\varOmega_y}{\varOmega} -
\mathfrak{A}\frac{V_x}{V} - \mathfrak{B}\frac{V_y}{V} + D
\end{align*}
bestimmt. Bei dieser Variabel-Aenderung bleibt daher die Form
\[
\int\left(\frac{\mathfrak{Ap + Bq}}{z\mathfrak{z}} + D\right)dx\, dy
\]
unserer Integralinvariante ungeändert, während allerdings die
Coefficienten~$\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ und~$D$ im Allgemeinen ihre
Form ändern. Bei passender Wahl von~$\varOmega$ und~$V$ erreichen wir,
dass~$D_1$ gleich Null wird; und da die Funktionen~$X(x,y)$, $Y(x,y)$
gar keiner Beschränkung unterworfen sind, können
%-----File: 054.png----------------------------
wir immer erreichen, dass\anm{52}
\[
\varrho = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y = 1
\]
wird. Die infinitesimale Transformation $\Ubarf$ erhält in folge dessen
die
Form:
\[
\Ubarf =
\frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot
\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot
\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

Wir können ferner
\[
\mathfrak{A} = \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}},\qquad
\mathfrak{B} = y - \frac{\partial{\psi}}{\partial{x}}
\]
setzen. Durch eine neue Aenderung der Veränderlichen
\[
x_2 = X_1(x,y),\qquad y_2 = Y_1(x,y),\qquad z_2 = z\varOmega,\qquad
\mathfrak{z}_2=\mathfrak{z}V
\]
die so gewählt ist, dass
\begin{gather*}
0 = \mathfrak{A}\frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} +
    \mathfrak{B}\frac{\partial{X_1}}{\partial{y}},\qquad
0 = \mathfrak{A}\frac{V_x}{V} +
    \mathfrak{B}\frac{V_y}{V}
\\
1 = \frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} \cdot
\frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} -
\frac{\partial{X_1}}{\partial{y}} \cdot
\frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}}
\end{gather*}
wird, erkennen wir ohne Schwierigkeit\anm{53}, dass wir $\psi = 0$ und
\[
\mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = y,\qquad D=0
\]
ferner
\[
\Ubarf =
\frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} \cdot
\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} \cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y}}
\]
setzen können und dass
\[
\int \frac{y\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}\, dx\,dy
\]
die entsprechende kanonische Form unserer Integralinvariante ist.
\nopagebreak
\begin{center}
\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}

%-----File: 055.png----------------------------
\label{case17} Nachdem hiermit alle Fälle bestimmt sind, die eintreten
können, wenn die Grösse~$C$ von~$x$ und~$y$ unabhängig ist, müssen wir
jetzt die Annahme machen, dass~$C$ keine Constante ist:
\begin{center}
\emph{C ist keine Constante.}
\end{center}
In diesem Falle ist, wie wir wissen, $C$ eine Invariante aller
\[
\Ubarf = \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

Die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form5} zeigen, dass wir in
diesem Falle
\[
C = x,\qquad \xi = 0
\]
setzen können\anm{54}.

Die Definitionsgleichungen der gesuchten infinitesimalen
Transformationen~$\Ubarf$ erhalten in Folge dessen die Gestalt:
\[
\left.
\begin{aligned}
- x\beta_y  &= A\eta_y + \eta A_y \\
  x\beta_x  &= - A\eta_x + \eta B_y \\
  x\alpha_y &= \mathfrak{A}\eta_y + \eta \mathfrak{A}_y \\
- x\alpha_x &= - \mathfrak{A}\eta_x + \eta \mathfrak{B}_y \\
  0         &= D\eta_y + \eta D_y + A\alpha_x + B\alpha_y +
\mathfrak{A}\beta_x + \mathfrak{B}\beta_y.
\end{aligned}
\right\}
\tag{18}
\]

Die Integrabilitätsbedingungen der vier ersten Gleichungen liefern die
Relationen
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ xA_x + xB_y - A \biggr\} =
0& \\
\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,\biggl\{ x\mathfrak{A}_x +
x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A} \biggr\} = 0&.
\end{aligned}
\]

Eliminiren wir ferner die Ableitungen $\alpha_x$, $\alpha_y$,
$\beta_x$, $\beta_y$ aus den fünf
Definitionsgleichungen, so finden wir die Bedingung
\[
\frac{\partial{}}{\partial{y}}\eta\,(xD + B\mathfrak{A} -
\mathfrak{B}A) = 0.
\]
%-----File: 056.png----------------------------

Die drei neuen Gleichungen sind unmittelbar integrabel; sie zeigen
dass %% Im Original $\mathfrak{B}\mathfrak{A}$ statt $\mathfrak{B}A$
\[
\leqno{(19)}\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&\eta(xA_x + xB_y - A) = X(x)\\
&\eta(x\mathfrak{A}_x + x\mathfrak{B}_y - \mathfrak{A}) = X_1(x)\\
&\eta(xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A) = X_2(x).
\end{aligned}
\right.
\]

Hier sind nun verschiedene Fälle denkbar, die durch das Verhalten
der drei links stehenden Parenthesen charakterisirt werden.

Verschwinden die drei links stehenden Parenthesen; ist also
\[
\leqno{(20)}\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&x(A_x + B_y) - A = 0 \\
&x(\mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y) - \mathfrak{A} = 0 \\
&xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A = 0
\end{aligned}
\right.
\]
so ist $\eta$ gar keiner Beschränkung unterworfen und die gesuchte
infinitesimale
Transformation~$\Ubarf$ hat daher die allgemeine Form
\[
\Ubarf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}}.
\]

Die beiden ersten Gleichungen, die auf die Form
\[
\begin{aligned}
&\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{A}{x}\right) +
\frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{B}{x}\right) = 0 \\
&\frac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right) +
\frac{\partial{}}{\partial{y}}\left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right) = 0
\end{aligned}
\]
gebracht werden können, zeigen dass die vier Grössen $A$, $B$,
$\mathfrak{A}$ und~$\mathfrak{B}$
die allgemeine Form
\[
\begin{aligned}
&A =   x\frac{\partial{U}}{\partial{y}},  \qquad
&B = - x\frac{\partial{U}}{\partial{x}} \\
&\mathfrak{A} =   x\frac{\partial{V}}{\partial{y}},  \qquad
&\mathfrak{B} = - x\frac{\partial{V}}{\partial{x}}
\end{aligned}
\]
besitzen. Und wenn diese Werthe in die letzte Gleichung~(20) eingetragen
werden, so ergiebt sich, da~$U$ und~$V$ durch die Relation
%-----File: 057.png----------------------------
\[
xD - x^2\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\frac{\partial{V}}{\partial{y}} +
     x^2\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\frac{\partial{V}}{\partial{x}}
= 0
\]
verknüpft sind\anm{55}, dass der Coefficient $D$ die Form
\[
D = x( U_x V_y - U_y V_x )
\]
besitzt.

Die zugehörige Integralinvariante hat somit die Gestalt
\[
\int\left(
\frac{x(U_yp - U_xq)}{z} +
\frac{x(V_y\mathfrak{p} - V_x\mathfrak{q})}{\mathfrak{z}} +
\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} +
x(U_xV_y - U_yV_x)
\right) dx\, dy
\]
und erhält daher in den neuen Veränderlichen
\[
x_1 = x,\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = ze^{-V},\qquad \mathfrak{z}_1 =
\mathfrak{z}e^{U}
\]
die einfache Form
\[
\int\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}\, dx\, dy.
\]

Bei dieser Variabeländerung behält $\Ubarf$ ihre Form. Die Formeln~(18)
zeigen überdies, dass~$\alpha$ und~$\beta$ constant sind, und also ist:
\[
\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
die zugehörige Form der infinitesimalen Transformation $\Uf$.

Hiermit ist die Annahme, dass die drei Ausdrücke:
\begin{gather*}
\left(\frac{A}{x}\right)_{\!\!x} +
\left(\frac{B}{x}\right)_{\!\!y},\qquad
%\left(\frac{B}{x}\right)_{y\ ,}\qquad ]
\left(\frac{\mathfrak{A}}{x}\right)_{\!\!x} +
\left(\frac{\mathfrak{B}}{x}\right)_{\!\!y}\\
xD + B\mathfrak{A} - \mathfrak{B}A
\end{gather*}
sämmtlich verschwinden, erledigt.

\bigskip

\label{case18} Sind diese drei Ausdrücke nicht sämmtlich gleich Null,
so besteht
zwischen je zwei unter diesen Grössen eine lineare homogene Relation,
deren Coefficienten Funktionen von~$x$ allein sind.

Es ist nun (Vergleiche die Transformationsformeln auf
Seite~\pageref{form5})
immer möglich, eben weil~$C$ von Null verschieden ist, solche neue
Veränderliche
%-----File: 058.png----------------------------
\[
x_1 = x,\qquad  y_1 = y,\qquad  z_1 = z\varOmega,\qquad  \mathfrak{z}_1
= \mathfrak{z}V
\]
einzuführen, dass
\[
A_1 = 0 \text{ und } \mathfrak{A}_1 = 0
\]
wird. Wir können daher von vorneherein
\[
C = x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
\]
setzen; und dabei bestehen zwischen je zwei unter den Grössen
\[
B_y,\qquad \mathfrak{B}_y,\qquad D
\]
lineare und homogene Relationen, deren Coefficienten Funktionen von~$x$
sind.

Wir wollen zunächst annehmen, dass $B_y$ und $\mathfrak{B}_y$ nicht
beide gleich
Null sind, dass z.~B.\ die Grösse~$B_y$ von Null
verschieden ist. Alsdann
führen wir die neuen Veränderlichen
\[
x_2 = x,\qquad  y_2 = B(x,y),\qquad  z_2 = z,\qquad  \mathfrak{z}_2 =
\mathfrak{z}
\]
ein und finden sodann durch Benutzung der Transformationsformeln auf
Seite~\pageref{form5} dass:
\[
\begin{aligned}
B_yA_2 &= 0, &\qquad  B_yB_2 &= B\, B_y \\
B_y\mathfrak{A}_2 &= 0, &  B_y\mathfrak{B}_2 &= \mathfrak{B}\, B_y
\end{aligned}
\]
und also
\[
A_2 = 0,\qquad
B_2 = y_2,\qquad \mathfrak{A}_2 = 0,\qquad
\mathfrak{B}_2 = \mathfrak{B} =\varphi(x)y_2 + \psi(x).
\]

Wir können daher von vorneherein
\[
A = 0,\qquad
B = y,\qquad
\mathfrak{A} = 0,\qquad
\mathfrak{B} = \varphi(x)y + \psi(x)
\]
und
\[
\xi=0,\qquad \eta = \mu(x)
\]
setzen. Dabei zeigt die Formel
\[
\eta D = \varphi_2(x)
\]
dass auch $D$ eine Funktion von $x$ sein muss.
%-----File: 059.png----------------------------

Hiermit erhält unsere Integralinvariante die kanonische Form
\[
\int\left(
\frac{yq}{z} +
\frac{\varphi (x)y + \psi(x)}{\mathfrak{z}}\mathfrak{q} +
\frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}} +
D(x)\right) dx\,dy
\]
und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ besitzen die
allgemeine
Form:
\[
\Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} -
\left(\int\frac{\mu(x)\varphi(x)dx}{x}\right)
z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\left(\int\frac{\mu(x)dx}{x}\right)
\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

\bigskip

\label{case19} Endlich müssen wir annehmen, dass
\[
B_y = 0,\qquad \mathfrak{B}_y = 0,\qquad  xD \neq 0
\]
und (19):
\[
\eta D = \varphi(x).
\]

Hier führen wir neue Veränderlichen ein, nämlich
\[
x_1 = x,\qquad  y_1 = \int D(x,y)\,dy,\qquad  z_1 = z,\qquad
\mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
\]
und erkennen durch Benutzung der Transformationsformeln auf
Seite~\pageref{form5} dass die Coefficienten~$A_1$, $B_1$,
$\mathfrak{A}_1$, $\mathfrak{B}_1$, $C_1$, $D_1$ durch die folgenden
Gleichungen bestimmt sind
\begin{gather*}
C_1 = C = x,\qquad  A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A_1} = 0 \\
D\cdot B_1 = B\cdot D, \qquad
D\cdot \mathfrak{B}_1 = D\cdot \mathfrak{B}\\
D\cdot D_1 = D.
\end{gather*}

Wir können daher von vorneherein
\begin{gather*}
C=x,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\
B=X(x),\qquad \mathfrak{B} = X_1(x),\qquad D = 1
\end{gather*}
setzen; alsdann wird
\[
\xi =0,\qquad \eta = \mu(x),\qquad \alpha = \text{Const.},\qquad \beta
= \text{Const}.
\]
%-----File: 060.png----------------------------

Die kanonische Form unserer Integralinvariante wird also
\[
  \int \left( \frac{X(x) q}{z}
            + \frac{X_1(x) \mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
            + \frac{x(p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q)}{z\mathfrak{z}}
            + 1 \right) dy\, dx
\]
und die zugehörigen infinitesimalen Transformationen haben die Gestalt
\[
  \Uf
= \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+ \text{Const. } z \frac{\partial f}{\partial z}
+ \text{Const. } \mathfrak{z}\frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\]

\fivestar

Wir gehen jetzt der Reihe nach alle neunzehn Fälle durch und zeigen,
wie in jedem
einzelnen Fall das betreffende Integrationsproblem
erledigt werden kann.

Im nächsten Kapitel\anm{1} zeigen wir sodann, dass die von uns gegebenen
Integrations-Methoden das Grösstmögliche leisten.

In einem und nur in einem unter den neunzehn vorhandenen Fällen
kann kein Vortheil aus der bekannten Integralinvariante gezogen werden.
In den achtzehn übrigen Fällen gestattet das Vorhandensein der bekannten
Integralinvariante immer das Integrationsgeschäft wesentlich zu
vereinfachen.
\bigskip


\subsection*{\textbf{Fall I.} [Seite \pageref{case1}].}
Im ersten Falle, dass heisst, wenn $C$ eine von Null verschiedene
Constante ist und die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
  \,\omega  &  \omega_x &  \omega_y\,  \\
  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y  \\
\end{vmatrix}
\]
nicht verschwindet, besteht die Gruppe $\Uf$ nur aus den beiden
infinitesimalen
Transformationen
\[
  X_1 f = z \frac{\partial f}{\partial z} \quad \text{und} \quad
  X_2 f = \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\]

Wir finden daher beide Lösungen des vollständigen Systems
\[
  X_1f = 0, \qquad  X_2 f = 0
\]
ohne Integration, ja sogar ohne Quadratur\anm{2}.
%-----File: 061.png----------------------------
\bigskip


\subsection*{\textbf{Fall II.} [Seite \pageref{case2}].}
Der zweite Fall ist dadurch charakterisirt, dass $C$ gleich einer nicht
verschwindenden Constante ist, und dass die dreireihige
Determinante~$\theTheta$, nicht aber ihre sämmtlichen zweireihigen
Unterdeterminanten gleich Null sind. In diesem Falle hat die verkürzte
Gruppe~$\Ubarf$ die Form\anm{56}
\[
  \Ubarf = \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
\]
und ist somit \emph{intransitiv}. Wir finden daher die Invariante~$x$
ohne Integration, ja ohne Quadratur. Setzt man sodann diese Invariante
gleich einer willkürlichen Constante~$c$, so zerlegt die hervorgehende
Gleichung
\[
  x = c = \text{ const.}
\]
den vierdimensionalen Raum $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ in~$\infty^1$
dreidimensionale Räume, deren jeder~$\infty^1$ charakteristische
Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems: $X_1f=0$, $X_2f=0$
enthält.

Es bleibt jetzt nur noch übrig in jedem Raume $x=c$ die~$\infty^1$
charakteristischen Mannigfaltigkeiten dieses Raumes zu finden. Zu diesem
Zwecke beobachten wir, dass jede infinitesimale Transformation
\[
  \Uf
= \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+
  \frac{1}{C} \left( \int X_1 d\mu \right)
  z \frac{\partial f}{\partial z}
-
  \frac{1}{C} \left( \int X d\mu \right)
  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
die $\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines solches
Raumes~$x=c$ unter einander vertauscht. Und zwar sehen wir, dass
alle~$\Uf$ die~$\infty^1$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines
Raumes~$x=c$ in genau derselben Weise transformiren, dabei
vorausgesetzt, dass wir diese~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten als ein
eindimensionales Gebiet auffassen. Hieraus folgt dass wir durch eine
Quadratur einen Integrabilitätsfaktor desjenigen vollständigen Systems
aufstellen können, das die~$\infty^1$ gesuchten charakteristischen
Mannigfaltigkeiten definirt. Eine zweite Quadratur liefert diese
Mannigfaltigkeiten selbst\anm{57}.

Im vorliegenden Falle verlangt daher die Integration des vollständigen
Systems $X_1f=0$, $X_2f=0$ nur Differentiations- und
Eliminationsoperationen und sodann zwei successive Quadraturen. Wir
bezeichnen diese Operationen mit
\[
  (0),\ 0,\ 0.
\]
%-----File: 062.png----------------------------


\subsection*{\textbf{Fall III.} [Seite \pageref{case3}].}
Der dritte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient $C$
constant
und von Null verschieden ist während die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
  \omega  &  \omega_x &  \omega_y  \\
  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y  \\
\end{vmatrix}
\]
sowie alle ihre zweireihigen Unterdeterminanten nicht aber die Grössen
$\omega$, $\varrho$, $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind.

Jetzt hat $\Uf$ die Form
\[\wideeqn
  \Uf
= W_y \frac{\partial f}{\partial x}
- W_x \frac{\partial f}{\partial y}
-
  (k_3 x W_x - k_3 W + \text{Const.})
  z \frac{\partial f}{\partial z}
+
  (k_2 x W_x - k_2 W + \text{Const.})
  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}.
\]

Das zweidimensionale Gebiet $x$, $y$ der $\infty^2$ gesuchten
charakteristischen Mannigfaltigkeiten des vollständigen Systems wird
daher durch eine Gruppe transformirt die mit der Gruppe der
Hydrodynamik\anm{58} ähnlich ist. Jetzt gestattet daher die Auffindung
einer ersten Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$ gar
keine Vereinfachung, verlangt also eine Operation~2. Nachdem aber eine
solche Lösung gefunden ist, die wir somit mit~$x$ bezeichnen können,
leuchtet ein, dass die allgemeinste Transformation~$\Uf$, die~$x$
invariant lässt, die Form
\[
  \mu(x) \frac{\partial f}{\partial y}
+    (~) \frac{\partial f}{\partial z}
+    (~) \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
besitzt. Wie im vorigen Falle genügen jetzt zwei successive Quadraturen
zur Bestimmung der gesuchten charakteristischen Mannigfaltigkeiten des
vollständigen Systems~$X_1f=0$, $X_2f=0$.

Im dritten Falle verlangt also die Integration des vorgelegten
vollständigen Systems die Operationen
\[
  2,\ 0,\ 0.
\]


\subsection*{\textbf{Fall IV.} [Seite \pageref{case4}].}
Der vierte Fall ist dadurch charakterisirt, dass der Coefficient~$C$
constant und von Null verschieden ist, während die drei
Grössen~$\omega$, $\varrho$ und $\sigma$ sämmtlich gleich Null sind. Die
infinitesimalen Transformationen~$\Uf$ haben die allgemeine Form:
%-----File: 063.png----------------------------
\[
  \Uf
=  \xi(x, y) \frac{\partial f}{\partial x}
+ \eta(x, y) \frac{\partial f}{\partial y}
+ z \alpha   \frac{\partial f}{\partial z}
+ \mathfrak{z} \beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
und dabei sind $\xi$ und $\eta$ ganz willkürliche Funktionen von~$x$
und~$y$. Jetzt sind alle Lösungen des vollständigen Systems~$X_1f=0$,
$X_2f=0$ unter einander gleichberechtigt und daher verlangt die
Integration dieses vollständigen Systems die Operationen
\[
  2,\quad 1.
\]

\emph{Im vorliegenden Falle ziehen wir also gar keinen Vortheil aus der
bekannten Integralinvariante.}

Dies liegt aber nicht in einer Unvollkommenheit unserer Theorie, sondern
es beruht auf dem Wesen der Sache. Es sind ja einerseits alle
Lösungen unter einander gleichberechtigt, und es sind auch andererseits
nachdem eine Lösung gefunden ist, alle übrigen Lösungen unter einander
gleichberechtigt.


\subsection*{\textbf{Fall V.} [Seite \pageref{case5}].}
Der fünfte Fall ist dadurch charakterisirt, dass
\[
  C = 0
\]
ist und dass $\Uf$ die Form
\[
  \Uf
= a \left( x \frac{\partial f}{\partial x}
         - y \frac{\partial f}{\partial y} \right)
+ b \frac{\partial f}{\partial y}
+ \alpha z \frac{\partial f}{\partial z}
+ \beta\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
mit den beiden willkürlichen Constanten $a$ und $b$ besitzt. Jetzt
werden die $\infty^2$ charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine
zweigliedrige, also \emph{integrable}\anm{59} Gruppe transformirt, deren
Transformationen nicht vertauschbar sind. Man findet die beiden
infinitesimalen Transformationen dieser letzten Gruppe durch zwei
Quadraturen. Man bildet zu diesem Zwecke zunächst die
Definitionsgleichungen der infinitesimalen Transformationen der ersten
dirivirten Gruppe. In dieser Weise findet man zunächst durch eine
Quadratur die invariante infinitesimale Transformation der oben
besprochenen zweigliedrigen Gruppe, sodann durch eine neue Quadratur die
fehlende infinitesimale Transformation dieser Gruppe. Hinterher bestimmt
man eine erste Lösung des vollständigen Systems~$X_1f=0, X_2f=0$ durch
eine dritte Quadratur und endlich die fehlende Lösung durch eine vierte
Quadratur.

In diesem Falle verlangt somit die Integration unseres vollständigen
Systems \emph{vier successive} Quadraturen also die Operationen
\[
  0,\ 0,\ 0,\ 0.
\]
%-----File: 064.png----------------------------

\subsection*{\textbf{Fall VI.} [Seite \pageref{case6}].}
Der sechste Fall ist dadurch charakterisirt dass
\[
C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
\]
ist und dass die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ die
kanonische Form
\[
\Uf = a\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
     b\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
     z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
     \mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
mit den willkürlichen Constanten $a$, $b$, besitzen.

In diesem Falle wird das zweidimensionale Gebiet der $\infty^2$
charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine
\emph{zweigliedrige} Gruppe mit \emph{vertauschbaren}
Transformationen transformirt. Es verlangt daher nach meinen
allgemeinen Theorien die Bestimmung dieser zweigliedrigen Gruppe
die Erledigung einer \emph{Riccatischen} Differentialgleichung
\emph{erster} Ordnung\anm{60}. Sodann finden wir die beiden
Lösungen unseres vollständigen Systems durch zwei Quadraturen, die
in dem Sinne von einander unabhängig sind, dass es gleichgültig
ist in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden.

Die im vorliegenden Falle erforderlichen Operationen bezeichnen
wir durch die Symbole
\[
  R,\quad 0,\quad 0.
\]


\subsection*{\textbf{Fall VII.} [Seite \pageref{case7}].}
Dieser Fall ist dadurch charakterisirt, dass
\[
C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
\]
und dass $\Uf$ die Form
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
besitzt. Jetzt ist die Gruppe $\Uf$ intransitiv und wir finden daher
eine Lösung des vollständigen Systems~$X_1 f = 0$, $X_2 f = 0$ ohne
Integration, ja ohne Quadratur, dass heisst durch eine Operation~$(0)$.
In jedem unter den hiermit gefundenen dreidimensionalen Räumen
liegen~$\infty^1$ charakteristische Mannigfaltigkeiten, und das
eindimensionale Gebiet dieser~$\infty^1$ Mannigfaltigkeiten wird von
einer einzigen infinitesimalen Transformation transformirt. Diese
infinitesimale Transformation wird daher durch eine Quadratur gefunden
und eine neue Quadratur giebt sodann die fehlende
%-----File: 065.png----------------------------
Lösung unseres vollständigen Systems. Jetzt verlangt daher die
Integration
des vorgelegten vollständigen Systems die Operationen
\[
(0),\quad 0,\quad 0.
\]

Die beiden Quadraturen sind nicht von einander unabhängig.

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall VIII.}\label{anm42} [Seite \pageref{case8}, N. 42].}
In diesem Falle ist
\[
C = 0, \qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0
\]
und
\[
\Uf = z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

Es werden daher die Lösungen unseres vollständigen Systems ohne
Integration und Quadratur, dass heisst durch die Operation~$(0)$
gefunden. Dieser Fall tritt ein, wenn~$C = 0$, $A\mathfrak{B} -
\mathfrak{A}B \neq 0$ sind während die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
\varrho_x & \varrho_y\\
\sigma_x & \sigma_y
\end{vmatrix}
\]
der beiden Grössen
\[
\varrho = A_x + B_y,\qquad \sigma = \mathfrak{A}_x + \mathfrak{B}_y
\]
nicht identisch verschwindet.

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall IX.} [Seite \pageref{case9}].}
In diesem Falle ist
\[
C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad B = 0,\qquad
\mathfrak{B} = 0
\]
und
\[
D = 1.
\]

Die Gruppe $\Uf$ hat die Form
\[
\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{y}}
\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}
\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind daher unter einander
gleichberechtigt und es verlangt daher die Bestimmung einer ersten
Lösung~$x$ eine Operation~2. Nachdem eine solche Lösung gefunden ist,
%-----File: 066.png----------------------------
wird das eindimensionale Gebiet der~$\infty^1$ charakteristischen
Mannigfaltigkeiten, die in einem Raum~$x = a$ enthalten sind, nur durch
eine infinitesimale Transformation transformirt. Man findet daher wie im
Falle~VII die fehlende Lösung des vollständigen Systems durch zwei
successive Quadraturen. Das ganze Integrationsgeschäft verlangt also die
Operationen
\[
2,\quad 0,\quad 0.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall X.} [Seite \pageref{case10}].}
In diesem Falle ist
\[
C = 0,\qquad A = \mathfrak{A} = 0,\qquad \mathfrak{B} = kB,\qquad B_y
\neq 0,\qquad k = \text{Const}.
\]

Die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
\[
\Uf = \xi(x)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{1}{B_y}(B\xi_x + B_x\xi)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
und dabei ist $\xi(x)$ eine willkürliche Funktion von $x$. Die verkürzte
Gruppe~$\Uf$ in den Veränderlichen~$x$ und~$y$ ist \emph{imprimitiv},
indem die Curvenschar~$x=\text{const.}$ der~$xy$-Ebene invariant bleibt.
Daher verlangt die Bestimmung der Lösung~$x$ nur die Integration einer
gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, also eine
Operation~1. Ist~$x$ bestimmt, so wird die fehlende Lösung ohne
Integration oder Quadratur gefunden, indem alle~$\Uf$, die~$x$ invariant
lassen, die Form
\[
(~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
(~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
besitzen.

Im vorliegenden Falle verlangt also das Integrationsgeschäft die
Operationen
\[
1,\quad (0).
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XI.} [Seite \pageref{case11}].}
In diesem Falle ist
\begin{gather*}
C = 0,\qquad A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0
\\
B = 1,\qquad \mathfrak{B} = k = \text{Const.}
\end{gather*}
und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
%-----File: 067.png----------------------------
\[
\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
wobei $\eta$ eine ganz beliebige Funktion von $x$ und $y$ darstellt. Die
verkürzten Transformationen~$\Ubarf$ transformiren das eindimensionale
Gebiet~$x=\text{ Const.}$ durch eine Gruppe mit \emph{einem einzigen}
Parameter. Daher findet man durch eine Quadratur den Multiplicator
desjenigen vollständigen Systems, dessen einzige Lösung~$x$ ist und eine
zweite Quadratur giebt~$x$ selbst. Um sodann die fehlende Lösung~$y$ zu
finden integrirt man eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
Ordnung, die nicht vermieden werden kann. Die infinitesimalen
Transformationen~$\Uf$, die~$x$ invariant lassen, transformieren ja~$y$
in allgemeinster Weise.

Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen
Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
\[
0,\quad 0,\quad 1.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XII.}\label{anm48} [Seite \pageref{case12}].}
In diesem Falle ist
\begin{gather*}
C = 0,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0
\\
B = Y(y),\qquad  \mathfrak{B} = yY(y),\qquad  D = 0
\end{gather*}
und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
\[
\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]
Man findet daher die Lösung $y$ ohne Integration bez. Quadratur durch
eine Operation~(0). Sodann verlangt die Bestimmung von~$x$ zwei
successive
Quadraturen.

In diesem Falle brauchen wir also die Operationen
\[
(0),\quad 0,\quad 0.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XIII.}\label{anm49} [Seite \pageref{case13}].}
In diesem Falle ist
\begin{gather*}
C = A = \mathfrak{A} = 0
\\
B = y, \qquad \mathfrak{B} = xy, \qquad D = 0
\end{gather*}
%-----File: 068.png----------------------------
und die infinitesimalen Transformationen $\Uf$ besitzen die Form
\[
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
und also werden beide Lösungen ohne Integration oder Quadratur gefunden.

Die Integration des vollständigen Systems: $X_1f = 0$, $X_2f = 0$
verlangt
also in diesem Falle nur die Operation
\[
(0).
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XIV.}\label{anm50} [Seite \pageref{case14}].}
Jetzt ist
\begin{gather*}
C = 0,\qquad     A = \mathfrak{A} = 0\\
B = B(x),\qquad  \mathfrak{B} = xB(x)
\end{gather*}
und
\[
\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
(~)\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
(~)\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
wobei $\eta$ eine ganz willkürliche Funktion von $x$, $y$ bezeichnet.
Die Gruppe~$\Uf$ ist somit intransitiv und dementsprechend findet man
die Lösung~$x$ ohne Integration und Quadratur, also durch eine
Operation~$(0)$. Sodann verlangt die Bestimmung der Lösung~$y$ eine
Operation~1.

Im vorliegenden Falle brauchen wir also zur Integration des
vollständigen
Systems:~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
\[
(0),\quad 1.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XV.}\label{anm51} [Seite \pageref{case15}].}
In diesem Falle ist
\[
C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 1,\qquad
\mathfrak{B} = 0,\qquad D = 0
\]
und
\[
\Uf =
\xi(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\text{Const.}\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
wobei $\xi(x,y)$ eine willkürliche Funktion von $x$ und $y$ bezeichnet.
Man findet daher die Lösung~$x$ durch zwei successive Quadraturen;
sodann verlangt die Bestimmung von~$y$ eine Operation~1.
%-----File: 069.png----------------------------

Im vorliegenden Falle verlangt also die Integration des vollständigen
Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
\[
0,\quad 0,\quad 1.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XVI.} [Seite \pageref{case16}].}
Jetzt ist
\[
C = 0,\qquad A = 0,\qquad B = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad
\mathfrak{B} = y,\qquad D = 0
\]
und
\[
\Uf = \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}}
\frac{\partial{f}}{\partial{x}} -
\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}}
\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

Die Lösungen unseres vollständigen Systems sind jetzt gleichberechtigt
und es verlangt daher die Bestimmung von~$x$ eine Operation~2; sodann
geben zwei successive Quadraturen die fehlende Lösung~$y$.

In diesem Falle brauchen wir daher zur Integration des vollständigen
Systems~$X_1f = 0$, $X_2f = 0$ die Operationen
\[
2,\quad 0,\quad 0.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XVII.} [Seite \pageref{case17}].}
Jetzt ist
\[
C = x,\qquad A = B = \mathfrak{A} =\mathfrak{B} = D = 0
\]
und $\Uf$ besitzt die Form
\[
\Uf = \eta(x,y)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\text{Const. }
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
mit der willkürlichen Funktion $\eta$ der beiden Argumente~$x$ und~$y$.
Wir
finden daher die Lösung~$x$ ohne Integration oder Quadratur durch eine
Operation~$(0)$; sodann liefert eine Operation~1 die fehlende
Lösung~$y$.

Die Integration des vollständigen Systems $X_1f = 0$, $X_2f = 0$
verlangt
daher in diesem Falle die Operationen
\[
(0),\quad 1.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XVIII.} [Seite \pageref{case18}].}
In diesem Falle ist
\[
C = x,\qquad A =0,\qquad \mathfrak{A} = 0,\qquad D = D(x)
\]
%-----File: 070.png----------------------------
\[
B = y,\qquad \mathfrak{B} = y\varphi(x) + \psi(x)
\]
und
\[
\Uf =
\mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} -
\left(\int \frac{\mu(x)C(x)dx}{x}\right)
z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\left(\int \frac{\mu(x)dx}{x}\right)
\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

Man findet daher zunächst die Lösung $x$ durch eine Operation~$(0)$
und sodann die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Im
vorliegende
Falle verlangt daher die Integration des vollständigen Systems die
Operationen
\[
(0),\quad 0,\quad 0.
\]

\bigskip

\subsection*{\textbf{Fall XIX.} [Seite \pageref{case19}].}
Jetzt ist
\begin{gather*}
C = x,\qquad  A = 0,\qquad  \mathfrak{A} = 0,\qquad  D=1 \\
B = X(x),\qquad  \mathfrak{B} = X_1(x)
\end{gather*}
und
\[
\Uf = \mu(x)\frac{\partial{f}}{\partial{y}} +
\text{Const. }z\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\text{Const. }\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}.
\]

Man findet daher die Lösung $x$ durch die Operation $(0)$ und sodann
die Lösung~$y$ durch zwei successive Quadraturen. Die Integration
unseres
vollständigen Systems verlangt daher auch in diesem Falle die
Operationen
\[
(0),\quad 0,\quad 0.
\]

\bigskip
\begin{center}
\makebox[10em]{\hrulefill}\bigskip
\end{center}
%-----File: 071.png----------------------------

\section*{Anmerkungen.}
\markboth{\textsc{Sophus Lie.}\hfil\small\upshape M.N. Kl.}{\textsc{1902 No.1\hfil anmerkungen.\hfil}}
\begin{itemize}
\parindent1.5em
\parskip0pt
\item[1.]\label{app1} Nur der erste Abschnitt liegt im Manuscript vor.
\hfill G.S.\qquad\

\item[2.] Ueber infinitesimale Transformationen $\Yf$ die mit gegebenen
infinitesimalen
Transformationen \emph{vertauschbar} sind, sieh \so{Sophus Lie:}
\emph{Theorie der Transformationsgruppen}, unter Mitwirkung von
F.~Engel,
Bd.~I p.~367. Die dadurch bestimmte Gruppe~G sieh l.~c.~p.~368 fg.

Wenn es keine solche Transformationen $\Yf$ giebt, so ist die vorgelegte
Gruppe $X_1f \ldots X_\nu f$ asystatisch \emph{Th.~d.~Tr.}\ Bd.~I p.~510
Satz 2, und ihre Invarianten d.~h.\ die Lösungen des vollständigen
Systems:
\[
X_1f = 0, \dots X_\nu f = 0
\]
können durch ausführbare Operationen gefunden werden (\emph{Th.~d.~Tr.}\
Bd.~I p.~518 Satz~7). \hfill S.\qquad\

\item[3.] Zu S.~\pageref{anm3a}. Diese Annahme schien uns nicht
unmittelbar
evident, und wir haben daher mit Herrn Professor F.~Engel über
diesen Punkt correspondiert. In einem Brief von 14--5--02 hat
Prof.~Engel uns Folgendes mitgetheilt:
\begin{quote}
\frqq Mir ist nun keine Stelle bekannt, wo Lie bewiesen oder auch nur
behauptet hat, dass man auch zu jeder intransitiven Gruppe eine
kanonische Form mit bekannten endlichen Transformationen finden
könnte. Doch wird er es sich vielleicht so gedacht haben. Vgl.\
\emph{Th.~d.~Tr.}
Bd.~I p.~458 das klein Gedruckte: Ist die dort definirte
Zahl $m = r$, so ist die kanonische Form ohne weiteres angebbar. Ist
$m > r$, so kommt man zum Ziele, indem man gewisse transitive
Gruppen bestimmt, die mit der gegebenen Gruppe meroëdrisch isomorph
sind\flqq.
\end{quote}

Zu S.~\pageref{anm3b}. Der Begriff \frqq reciprok\flqq\ ist früher von
Lie nur
bei einfach transitiven Gruppen gebraucht; hier bedeutet offenbar
die \frqq reciproke\flqq\ Gruppe die Gruppe~G von allen Transformationen
die mit den~$X_1f$ vertauschbar sind, gleichgültig ob die Gruppe~$X_if$
einfach transitiv ist oder nicht. \hfill G.S.\qquad\

\medskip

Zu S.~\pageref{anm3c}. Dieser Punkt schien uns unklar, da hier
vorausgesetzt
wird, dass~G endlich ist, denn nur in diesem Falle kann Lie
von einer gleichzusammengesetzten einfach transitiven Gruppe reden,
%-----File: 072.png----------------------------
und in dem Fall, dass~G endlich ist, (und sich nicht nur auf
die identische Transformation reducirt, ein Fall, der ja schon
erörtert ist), ist die Gruppe~$X_if$ transitiv, ein Fall, der ja
hier kein Interesse hat. Professor Engel, den wir darüber gefragt
haben ist mit uns darin
einig, \frqq dass diese Stelle entschieden nicht ganz in Ordnung
ist\flqq.

\bigskip

\item[4.] Man vergleiche hier \emph{Mathematische Annalen}
Bd.~25 p.~123, 22.\\
\null\hfill G.\qquad\

\item[5.] und 6.~Siehe \emph{Leipziger Berichte}, 1897
p.~402--407. \hfill G.S.\qquad\

\item[7.] Nur der erste Abschnitt liegt vor.

Ueber die in der Einleitung besprochenen Theorien und Probleme
siehe auch:

\emph{Encyclopædie der Mathematischen Wissenschaften} Band II. A
4 b \S\ 13--14 und \S\ 29--32. \hfill S.\qquad\

\item[8.]\frqq \emph{Ganz beliebige Funktionen}\flqq, müssen in der
Bedeutung verstanden werden, dass sie den allgemeinen Bedingungen
genügen, unter welchen das Integral eine Existenz hat. Auf solche
Fragen gehen wir aber hier nicht ein.

Ueberall in dem Folgenden muss man ähnliche funktionentheoretische
Voraussetzungen machen. \hfill S.\qquad\

\item[9.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler überall
$X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ statt $F_1$, $F_2$, $F_3$, $F_4$
gesetzt. Etwas später waren diese ersten Buchstaben $X$ zu $F$
corrigiert, und da es scheint, als ob Lie diese Correcturen nicht
durchgeführt habe, haben wir es gethan.

In dem Folgenden haben wir auch ($i = 3,4$) im Manuscript zu ($i =
1,2$) corrigiert, da dieses offenbar das Richtige ist.

In den Entwickelungen auf S.~\pageref{anm9a} und~\pageref{anm9b}
bedeutet natürlich
$\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}$ die partielle Ableitung von
$F_i$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$) wenn $x_2$, $x_3$ $x_4$ als
Constanten aufgefasst werden, dagegen
$\left(\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)$
die partielle Ableitung von $F_i$, wenn man in $F_i$ zuerst die
Ausdrücke der $x_3$ und $x_4$ als Funktionen von $x_1$ und $x_2$
substituirt und dann die partielle Ableitung nach $x_1$, nimmt
etc. \hfill G.S.\qquad\

\item[10.] Man sieht es unmittelbar ein, wenn man die Ausdrücke
der totalen Differentiale:
\[
\begin{aligned}
&dx'_3 = dF_3 =
\left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 +
\left(\dfrac{\partial{F_3}}{\partial{x_2}}\right)dx_2\qquad& \\
&dx'_i = dF_i =
\left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_1 +
\left(\dfrac{\partial{F_i}}{\partial{x_1}}\right)dx_2 &(i = 1,2)
\end{aligned}
\]
in die Gleichung
%-----File: 073.png----------------------------
\[
dx'_3 = \frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_3}}\cdot dx'_1 +
\frac{\partial{x'_3}}{\partial{x'_2}}\cdot dx'_2
\]
substituirt und beziehungsweise die Koefficienten von~$dx_1$ und~$dx_2$
auf beiden Seiten identificirt, u.~s.~w. \hfill S.\qquad\

\item[11.] Hier bedeutet $\left|\begin{smallmatrix}
U   & V \\
x_i & x_k
\end{smallmatrix}\right|
$ die Funktionaldeterminante, $
\frac{\partial{U}}{\partial{x_i}}
\frac{\partial{V}}{\partial{x_k}} -
\frac{\partial{U}}{\partial{x_i}}
\frac{\partial{V}}{\partial{x_i}}$, von $U$ und $V$ nach $x_i$ und
$x_k$. \hfill S.\qquad\

\item[12.] Folgende Andeutungen können vielleicht von Nutzen sein:

Wenn man $x_4$ als eine willkürliche Funktion $f$ von $x_1$, $x_2$
und $x_3$ wählt, so ist das totale Differential:
\[
dx_4 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2 +
\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot dx_3
\]
für einen willkürlichen aber bestimmten Punkt $x_1$, $x_2$, $x_3$,
$x_4$. Diese Gleichung ist linear und homogen in $dx_1$, $dx_2$,
$dx_3$, $dx_4$ und stellt folglich im Raume~$M_3$ eine Ebene dar.
Wenn man die Funktion~$f$ anders wählt, erhält man im Allg.\ eine
andere Ebene. Die drei partiellen Ableitungen
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad
\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad
\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}
\]
können daher als Ebenenkoordinaten aufgefasst werden.

Wenn man in analoger Weise $x_3$ und $x_4$ als willkürliche
Funktionen~$f$ und~$\varphi$ von $x_1$ und $x_2$ auffasst, so ist
\[
\begin{aligned}
dx_3 = \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2,\\
dx_4 = \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}}\cdot dx_1 +
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}}\cdot dx_2.
\end{aligned}
\]

Wenn man hier Alles im Raume $M_3$ auffasst, so stellt jede dieser
Gleichungen eine Ebene und folglich beide zusammen eine Gerade
dar. Wenn man~$f$ und~$\varphi$ anders wählt, bekommt man im
Allg.\ eine andere Gerade.

Da $dx_1$, $dx_2$, $dx_3$, $dx_4$ homogene Ebenenkoordinaten im~$M_3$
sind, kann man folglich die partiellen Ableitungen
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\quad
\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\quad
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}},\quad
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}}
\]
als Liniencoordinaten im $M_3$ auffassen.

Wie man mit Plücker die fünfte Liniencoordinate
\[
\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_2}} -
\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_1}}
\]
%-----File: 074.png----------------------------
einführen kann, siehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers}: \emph{Geometrie der
Be\-rüh\-rungs\-transformationen}
I. Kap. 7, \S~3. \hfill     S.\qquad\

\item[13.] Dass jede Punkttransformation im Infinitesimalen projektiv
ist, folgt daraus, dass die Differentiale linear und homogen
transformirt werden. Sieh z.~B.\ \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ der Tr.~I},
Kap.~28. Aber dann werden in~$M_3$ die absoluten Punktkoordinaten und
folglich die fünf Liniencoordinaten projektiv transformirt. (Siehe
z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Ge.\ der Berühr.tr.} % No space in original
I, p.~285, Satz~5).
\hfill S.\qquad\

\item[14.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $dx\, dy$ statt
$dx_1\, dx_2$ geschrieben. Wir haben dieses korrigiert. \hfill
G.~S.\qquad\

\item[15.] Da $X_1 f$ und $X_2 f$ vertauschbare Transformationen mit
verschiedenen Bahncurven sind, kann man solche neue Veränderliche $z_2$,
$\mathfrak{z}_3$ einführen, dass $X_1 f$ und $X_2 f$ in die beiden
Translationen
\[
  \frac{\partial f}{\partial z_2},\
  \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_2}
\]
übergehen (Sehe z.~B.\ \so{Lie-Scheffers} \emph{Diff.\ gl.\ mit
bekannt.\ inf.\
Tr.} p.~416).

Wenn man dann die neuen Veränderlichen
\begin{align*}
            z  &= e^{z_2 }  \\
  \mathfrak{z} &= e^{\mathfrak{z}_2}
\end{align*}
einführt, so werden die inf. Transformationen $X_1 f$ und $X_2 f$ auf
die
Formen
\[
            z  \frac{\partial f}{\partial           z },\
  \mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
gebracht. \hfill     G.~S.\qquad\

\item[16.]  (Seite~\pageref{anm16a} und~\pageref{anm16b}).

Wenn $X' f$ die erweiterte Transformation von
\[
  \Xf = \xi   \frac{\partial f}{\partial x}
     + \eta  \frac{\partial f}{\partial y}
     + \zeta \frac{\partial f}{\partial z}
     + \tilde{\omega} \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
ist, so ist die Bedingung dafür, dass das Integral
\[
  \int \psi\, dx\, dy
\]
durch die Transformation $\Xf$ invariant bleibt, wie bekannt:
\[
  X'\psi + (\xi_x + \eta_y)\psi = 0.
\]
(Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1897, p.~347--350)

Wenn folglich $\Xf = z\frac{\partial f}{\partial z}$, so ist
$\xi = \eta = 0$ und unsere Bedingungsgleichung
nimmt die Form:
%-----File: 075.png----------------------------
\[
  X'\psi = 0
\]
an, u.~s.~w.

In der Gleichung (Seite~14 unten) war im Manuscript $ \gamma_z
\mathfrak{p} +  \delta_z \mathfrak{q}$ statt $z\gamma_z
\mathfrak{p} + z\delta_z \mathfrak{q}$ geschrieben. Wir haben es
corrigiert.  \hfill G.~S.\qquad\

\item[17.]  Ueber vertauschbare Transformation etc.\ siehe
\so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}\ I, p.~259.  \hfill
G.~S.\qquad\

\item[18.]  Wenn die Relationen $(X_1U) = 0$ und $(X_2U) = 0$
identisch bestehen sollen, so erhält man durch Ausrechnung
\[
   \xi_z =  \xi_{\mathfrak{z}}
= \eta_z = \eta_{\mathfrak{z}} = \bar\omega_z =
\zeta_{\mathfrak{z}} = z\zeta_z - \zeta = \mathfrak{z}
\bar\omega_{\mathfrak{z}} -\omega = 0
\]
woraus
\begin{align*}
& \xi = \xi(x, y),  && \eta = \eta(x, y)
\\
& \zeta = z\cdot\alpha(x, y),  & & \bar\omega =
\mathfrak{z}\cdot\beta(x, y)
\end{align*}
u.~s.~w. \hfill     G.~S.\qquad\

\item[19.]  Man sieht leicht dass die allgemeinste Transformation
bei welcher $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z}
\frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$
ihre Form bewahren, durch die Gleichungen~(8) gegeben ist. Sind
nämlich $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ neue Veränderliche
so geht $z\frac{\partial f}{\partial z}$ und $\mathfrak{z}
\frac{\partial f}{\partial\mathfrak{z}}$ über in
\[
  z\frac{\partial x_1}{\partial z} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial x_1}
+
  z\frac{\partial y_1}{\partial z} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial y_1}
+
  z\frac{\partial z_1}{\partial z} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial z_1}
+
  z\frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial z} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
\]
und
\[
  \mathfrak{z} \frac{\partial x_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial x_1}
+
  \mathfrak{z} \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial y_1}
+
  \mathfrak{z} \frac{\partial z_1}{\partial \mathfrak{z}} \cdot
   \frac{\partial f}{\partial z_1}
+
  \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}}
\cdot
   \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}_1}
\]
und wenn diese Transformationen die Formen $z_1\frac{\partial
f}{\partial z_1}$ und $\mathfrak{z} \frac{\partial f}{\partial
\mathfrak{z}_1}$ erhalten sollen, müssen
\[
  \frac{\partial x_1}{\partial z}
= \frac{\partial y_1}{\partial z} = \frac{\partial
\mathfrak{z}_1}{\partial z} = \frac{\partial x_1}{\partial
\mathfrak{z}} = \frac{\partial y_1}{\partial \mathfrak{z}} =
\frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}} = 0
\]
und
\[
  z \frac{\partial z_1}{\partial z} = z_1, \qquad
  \mathfrak{z} \frac{\partial \mathfrak{z}_1}{\partial \mathfrak{z}}
= \mathfrak{z}_1
\]
das heisst, $x_1$, $y_1$, $z_1$, $\mathfrak{z}_1$ sind durch
Gleichungen von der Form~(8) bestimmt.  \hfill    S.\qquad\

\item[20.]  Im Manuscript war das Glied
\[
  +\frac{\theOmega_x V_y - \theOmega_y V_x}{\theOmega V}
\]
durch einen Schreibfehler vergessen. Wir haben es ergänzt. \hfill
G.~S.\qquad\

%-----File: 076.png----------------------------
\item[21.] Sieh z.~B.~\so{Lie-Scheffers}:  \emph{Geometrie der
Berührungs\-trans\-for\-ma\-ti\-onen} I, p.~289. \hfill G.~S.\qquad\

\item[22.] Im Manuscript war $A$ und $B$ statt $A_1$ und $B_1$
geschrieben. Wir haben es corrigiert. \hfill G.~S.\qquad\

\item[23.] $\Ubarf$ bedeutet hier die verkürzte inf. Transformation
$\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} $.

Ein \emph{Multiplicator} $M$ von $\Ubarf$ ist definirt
durch
\[
\frac{\partial{(M\xi)}}{\partial{x}} +
\frac{\partial{(M\eta)}}{\partial{y}} = 0
\]

Siehe z.~B.~\emph{Encyclopædie der math.} Wiss.~IIA 5, 12.
\hfill S.\qquad\

\item[24.] Im Manuscript hat Lie dieses zuerst etwas anders
redigiert, aber später seine ursprüngliche Redaction durch die
vorliegende ersetzt. Aber da diese ursprüngliche Redaction die
Sache ausführlicher darstellt, denken wir, dass es von Nutzen sein
kann, diese im Auszug zu reproducieren, um so mehr, als ähnliche
Überlegungen in dem Folgenden sehr oft vorkommen.

Wenn wir die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = \frac{M(x,y)}{N(x,y)},\qquad y_1 = Y(x,y),\qquad z_1 =
z,\qquad \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}\tag{a}
\]
einführen, so geht $\Ubarf$ über in
\[
\overline{U}\left(\frac{M}{N}\right)\cdot
\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \overline{U}(Y)
\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}\cdot
\]

Aber infolge Satz 2 ist $\overline{U}\left(\frac{M}{N}\right) =
0$, und wenn wir $Y$ durch die Gleichung
\[
\xi\frac{\partial{Y}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{Y}}{\partial{y}} = \mu\left(\frac{M}{N}\right)
= \mu(x_1)
\]
bestimmen, so wird unsere Transformation $\Ubarf$ die Form
\[
\mu(x_1)\cdot \frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}
\]
erhalten.

Durch die Variablenänderung (\emph{a}) gehen andererseits die
inf. Transformationen $
z\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ und $
\mathfrak{z}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ in $z_1
\frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ und $
\mathfrak{z_1}\frac{\partial{f}}{\partial{z_1}}$ über, (d.~h.\ sie
bleiben invariant) während das Integral die Form
\[
\int\left( \frac{A_1p_1 + B_1q_1}{z_1} +
\frac{\mathfrak{A_1}\mathfrak{p_1} +
\mathfrak{B_1}\mathfrak{q_1}}{\mathfrak{z_1}} +
\frac{C(p\mathfrak{q_1} - q\mathfrak{p_1})}{z_1\mathfrak{z_1}} +
D_1 \right)\;dx_1\;dy_1
\]
erhält, und dabei sind die Coefficienten $A_1$, $B_1,\dots D_1$
Funktionen von $x_1$ und $y_1$, die allerdings im Allgem.\ eine
andere Form als die alten Coefficienten $A$, $B,\dots D$ haben.

%-----File: 077.png----------------------------
Durch diese Betrachtungen erkennen wir, dass es im vorliegenden Falle
möglich ist, die kanonischen Veränderlichen $x$, $y$, $z$,
$\mathfrak{z}$ \emph{von vornherein} derart zu wählen, dass die Gruppe
$\Uf$ die Form
\[
  \mu(x)  \frac{\partial f}{\partial y}
+ z\alpha \frac{\partial f}{\partial z}
+ \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
erhält. \hfill     S.\qquad\

\item[25.]  Es ist nicht nöthig, die Annahme $\mu=1$ zu machen; man
sieht es
unmittelbar aus der letzte Gleichung~(6), die in unserem Fall die Form
\[
  \mu(x) D_y=0
\]
annimmt, dass $D$ eine Function von $x$ allein ist. \hfill  S.\qquad\

\item[26.]  Man sieht es leicht, wenn man bemerkt, dass
\[
  A = X(x), \quad B = 0, \quad
  \mathfrak{A} = X_1(x), \quad  \mathfrak{B} = 0, \quad
  D = D(x)
\]
und folglich
\[
  \omega = C\cdot D(x), \qquad
  \varrho = X'(x),  \qquad
  \sigma = X'_1(x),
\]
was eingesetzt in die Gleichungen (10) und (6), die angegebenen
Werthe von $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ liefert. \hfill S.\qquad\

\item[27.]  Wenn wir z.~B.\ die erste Gleichung~(10) betrachten, wo
\[
  N = \omega = CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}
\]
ist, und wenn wir neue Veränderliche
\[
  x_1 = X(x,y),  \quad  y_1 = Y(x,y), \quad z_1 = z,  \quad
  \mathfrak{z}_1 = \mathfrak{z}
\]
einführen und die Gleichung $\Delta N_1=N$ (Seite~\pageref{anm27}) ins
Auge fassen,
so sehen wir, dass
\[
  N_1 = 1
\]
wird, sobald $x_1$ und $y_1$ durch die Bedingung
\[
  \frac{\partial x_1}{\partial x} \cdot
  \frac{\partial y_1}{\partial y}
- \frac{\partial x_1}{\partial y} \cdot
  \frac{\partial y_1}{\partial x}
= CD + \mathfrak{A}B - A\mathfrak{B}
\]
bestimmt sind, was offenbar auf unendlich viele Weisen möglich ist.
Folglich können wir von vornherein $N  =1$ annehmen. Vergleiche
auch Note~24.  \hfill    S.\qquad\

\item[28.]  Vielleicht ist folgende directe Überlegung vorzuziehen:

Unsere Bedingung, dass alle Unterdeterminanten von
\[
\begin{vmatrix}
  \omega  &  \omega_x &  \omega_y  \\
  \varrho & \varrho_x & \varrho_y  \\
  \sigma  &  \sigma_x &  \sigma_y
\end{vmatrix}
\]
identisch verschwinden sollen, giebt
%-----File: 078.png----------------------------
\begin{align*}
  \omega\varrho_x &= \varrho\omega_x,  &\quad
  \omega\varrho_y &= \varrho\omega_y,
\\
  \omega\sigma_x &= \sigma\omega_x,  &\quad
  \omega\sigma_y &= \sigma\omega_y,   \quad \text{etc.}
\end{align*}

Aber da $N=\omega=1$ ist, so wird
\[
  \varrho_x = \varrho_y = \sigma_x = \sigma_y = 0
\]
d.~h.\ $\varrho$ und $\sigma$ sind Constanten. \hfill
S.\qquad\

\item[29.]  (Zu Seite~\pageref{anm29}). Wir haben einige Worte
eingeschaltet um
den Übergang zum Folgenden zu vermitteln.

Bei dieser Gelegenheit müssen wir auch die Bemerkung machen, dass
im letzten Falle, wo
\[
  \omega = \varrho = \sigma = A = B = \mathfrak{A} = \mathfrak{B} = D =
0
\]
ist, die Gleichungen (6) identisch befriedigt werden, und dass
folglich
\[
  \Uf =  \xi \frac{\partial f}{\partial x}
     + \eta \frac{\partial f}{\partial y}
     + z\alpha \frac{\partial f}{\partial z}
     + \mathfrak{z}\beta \frac{\partial f}{\partial \mathfrak{z}}
\]
wird, wo $\xi$, $\eta$, $\alpha$ und $\beta$ willkürliche
Funktionen von $x$ und $y$ sind.

\hfill      S.\qquad\

\item[30.]  Im Manuscript war das Theorem nicht fertig
geschrieben, und \so{Lie} hat einen Zwischenraum gelassen um es
später zu vervollständigen. Wir haben es gethan, und das Zugefügte
durch eckige Klammern angedeutet.

\hfill    G.~S.\qquad\

\item[31.]  Über Systeme partieller Differentialgleichungen, deren
allgemeinste Lösungen nur von einer endlichen Anzahl willkürlicher
Constanten abhängen, siehe \so{Lie-Engel} \emph{Th.\ d.\ Tr.}~I,
Kap.~10.

In der letzten Gleichung war im Manuscript $\mathfrak{A}B_x -
A\mathfrak{B}_x$ und $\mathfrak{A}B_y - A\mathfrak{B}_y$ statt
$A\mathfrak{B}_x - \mathfrak{A}B_x$ und $A\mathfrak{B}_y -
\mathfrak{A}B_y$ geschrieben. Wir haben es richtig gestellt.
\hfill      G.~S.\qquad\

\item[32.] Genau wie im vorigen Falle (Seite~\pageref{anm32a}) kann man
wohl nicht verfahren, weil $C=0$ ist und man folglich nicht mit $C$
multipliciren kann; aber wenn man die erste und letzte der 4~Gleichungen
(Seite~\pageref{anm32b}) addirt, erhält man unmittelbar die erste
Gleichung~(16) u.~s.~w. \hfill G.~S.\qquad\

\item[33.]  Vergl.\ Note~27. Bei der entsprechenden
Variablenänderung bleiben die Bedingungen $C=0$ und
$A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B\neq0$ invariant und wir können von
vornherein die Annahme $\omega=1$, $\xi_x+\eta_y=0$ machen.
\hfill   S.\qquad\

\item[34.]  Die beiden inf.\ Transformationen der Gruppe seien
\[
  U_1 f = P_y \frac{\partial f}{\partial x}
        - P_x \frac{\partial f}{\partial y}  \quad \text{und} \quad
  U_2 f = V_y \frac{\partial f}{\partial x}
        - V_x \frac{\partial f}{\partial y}.
\]

Nach S.~\so{Lie}:  \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, p.~294 u.~f.\
ist es nun möglich, neue Veränderliche
%-----File: 079.png----------------------------
\begin{align*}
  x_1 &= X(x,y)\\
  y_1 &= Y(x,y)
\end{align*}
einzuführen, die der Bedingung
\[
X_xY_y - X_yY_x = 1
\]
genügen und die infinitesimale Transformation $U_1f$ auf die Form einer
%[_1 hard to read]
Translation $\frac{\partial f}{\partial y_1}$ bringen. \hfill
S.\qquad\

\item[35.] Siehe z.~B. \emph{Th.~d.~Tr.} III, s. 713. \hfill
S.\qquad\

\item[36.] Es genügt z.~B., die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = x,\quad y_1 = y - \frac{X_1}{x}
\]
einzuführen.      \hfill S.\qquad\

\item[37.] Wie oben bemerkt, können wir hier $D = 0$ annehmen.
\hfill S.\qquad\

\item[38.] Es genügt, die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = \frac{x}{k},\quad y_1 = y + \frac{X_1}{k}
\]
einzuführen.       \hfill            G.~S.\qquad\

\item[39.] Vergleiche Seite \pageref{anm27}.          \hfill
S.\qquad\

\item[40.] Es genügt, die neuen Veränderlichen $x_1 = -X',\ y_1 =
y$ einzuführen.

\hfill  G.~S.\qquad\

\item[41.] Hier ist, wie man leicht sieht, ein Fehler.  Wenn man
nämlich die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = \varphi (x),\quad y_1 = \frac{1}{\varphi (x)}\cdot y + \psi
(x)
\]
einführt, so bleibt:
\[
  \Delta = \frac{\partial x_1}{\partial x}\cdot\frac{\partial
y_1}{\partial y} -
           \frac{\partial x_1}{\partial y}\cdot\frac{\partial
y_1}{\partial x} =
           \frac{\varphi'(x)}{\varphi (x)}
\]
und (Seite \pageref{form5})
\[
\Delta\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\cdot\varphi'(x)
\]
d.~h.
\[
\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}\varphi (x)
\]
und $\mathfrak{A}_1$ kann folglich nicht Null werden.

Man sieht aber leicht, dass die Transformation
\begin{align*}
  x_1 = y - \int\frac{\mathfrak{B}}{\mathfrak{A}}dx\\
  y_1 = y - \int\frac{B}{A}dx
\end{align*}
unsere Forderung erfüllt.    \hfill  S.\qquad\

%-----File: 080.png----------------------------

\item[42.] Am Rande seines Manuscripts hat S.~Lie geschrieben:
\[
\text{!! (\emph{gar keine inf.~Trfn.}, $\xi = 0$, $\eta = 0$)}
\]
und wie es auch aus dem Falle VIII (Seite \pageref{anm42}) hervorgeht,
ist hier
der Fall angedeutet, wo die Gruppe nur die identische
Transformation enthält, dass heisst, wo
\[
\xi = 0,\qquad \eta = 0
\]
sind. Die Gleichungen (15) geben alsdann:
\[
0 = A\alpha_x + B\alpha_y + \mathfrak{A}\beta_x +
\mathfrak{B}\beta_y
\]
und wegen der Voraussetzung sind
\[
C = 0,\qquad A\mathfrak{B} - \mathfrak{A}B \neq 0.
\]
\hfill G.~S.\qquad\

\item[43.] Es genügt, neue Veränderliche $x_1$ und $y_1$
einzuführen, wo $x_1$ eine Lösung der Gleichung
\[
A\frac{\partial{x_1}}{\partial{x}} +
B\frac{\partial{x_1}}{\partial{y}} = 0
\]
ist. Die Formeln auf der Seite~\pageref{form3} zeigen dann, dass $A_1 =
0$ und
dass folglich $\mathfrak{A_1}B_1 = 0$ wird. \hfill G.~S.\qquad\

\item[44.] Es genügt die neuen Veränderlichen $x_1$, $y_1$, als
Lösungen der Gleichung
\[
\frac{\partial{x_1}}{\partial{x}}
\frac{\partial{y_1}}{\partial{y}} -
\frac{\partial{x_1}}{\partial{y}}
\frac{\partial{y_1}}{\partial{x}} = D
\]
zu nehmen (Vergl. Seite~\pageref{form3}). \hfill S.\qquad\

\item[45.] Wie man leicht sieht, kann die Integralinvariante in
diesem Falle auf die Form
\[
\int\left( \frac{Bq}{z} + \frac{kB\mathfrak{q}}{\mathfrak{z}}
\right) \;dx\;dy
\]
gebracht werden. \hfill S.\qquad\

\item[46.] Siehe die Transformationsformeln auf Seite~\pageref{form3}.
\hfill
S.\qquad\

\item[47.] Im Manuscript war durch einen Schreibfehler $\Xf$ statt
$\Uf$ geschrieben. Wir haben es corrigirt. \hfill S.\qquad\

\item[48.] In den expliciten Ausdrücken von $\xi$ und $\eta$;
tritt die Integrationsconstante nur als Faktor auf, und es giebt
folglich nur \emph{eine} wesentliche infinitesimale
Transformation $ \xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}}
+ \eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}}
$.\bigskip

Um die Voraussetzungen des Falles XII, Seite~\pageref{anm48}
herzuleiten,
genügt es, die neuen Veränderlichen
%-----File: 081.png----------------------------
\[
x_1 = \int\frac{\partial{x}}{\xi},\qquad y_1 =
\frac{\mathfrak{B}}{B}
\]
einzuführen. Setzen wir nämlich
\[
\xi\frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
\eta\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \Ubarf
\]
so ist
\[
\begin{aligned}
&\overline{U}(x_1) = \xi\cdot\frac{1}{\xi} + 0 = 1 \\
&\overline{U}(y_1) = - \frac{\mathfrak{B}^2}{B^2}\cdot
\left(\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!x}\cdot \xi +
\left(\frac{B}{\mathfrak{B}}\right)_{\!\!y}\cdot\eta\right) = 0
\end{aligned}
\]
und $\Ubarf$ erhält in den neuen Veränderlichen $x_1$,
$y_1$ die Form $\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}$.

Die Transformationsformeln auf der Seite~\pageref{form3} geben
andererseits:
\[
A_1 = 0,\qquad \mathfrak{A}_1 = 0,\qquad B_1 = \xi B,\qquad
\mathfrak{B}_1 = \xi\mathfrak{B} = y_1B_1.
\]
Man sieht leicht, unter Anwendung der Formel $\xi B_x + B\xi_x +
\eta B_y = 0$, dass
\[
\frac{\partial{B_1}}{\partial{x_1}} = 0
\]
so dass $B_1$ eine Funktion von $y_1$ allein ist. Endlich können
wir neue Veränderliche $z_1$, und $\mathfrak{z}_1$, einführen
derart, dass $D_1 = 0$ wird.

Wir können also von vornherein die Voraussetzungen machen:
\[
\begin{aligned}
C = 0,\qquad &A = 0,\qquad \mathfrak{A} = 0 \\
B = Y(y),\qquad \mathfrak{B}& = y\cdot Y(y),\qquad D = 0
\end{aligned}
\]
und $\Uf$ hat die Form
\[
\Uf = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +
z\alpha\frac{\partial{f}}{\partial{z}} +
\mathfrak{z}\beta\frac{\partial{f}}{\partial{\mathfrak{z}}}
\]
w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\

\item[49.] Um die Voraussetzungen des Falles XIII,
Seite~\pageref{anm49},
herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = \frac{B}{\varphi'(x)}
\]
einzuführen. Man erhält dann:
\[
\begin{aligned}
\Delta = B_y,\qquad C_1 =&\ 0,\qquad A_1 = 0,\qquad B_1 =
\frac{B}{\varphi'(x)} = y_1 \\
\mathfrak{A}_1 = 0,\qquad \mathfrak{B}_1 &=
\frac{\mathfrak{B}}{\varphi'(x)} = \frac{B\varphi(x)}{\varphi'(x)}
= x_1y_1,\quad\text{etc.}
\end{aligned}
\]
w.~z.~b.~w. \hfill S.\qquad\

\item[50.] Um die Voraussetzungen des Falles XIV, Seite~\pageref{anm50},
herzuleiten, genügt es, die neuen Veränderlichen
%-----File: 082.png----------------------------
\[
x_1 = \varphi(x),\qquad y_1 = y
\]
zu setzen. Wir bekommen dann:
\[
C_1 = 0,\qquad A_1 = \mathfrak{A_1} = 0,\qquad B_1 =
B_1(x_1),\qquad \mathfrak{B_1} = x_1B_1,\quad\text{etc.}
\]

\item[51.] Um die Voraussetzungen des Falles XV, Seite~\pageref{anm51}
herzustellen, genügt es die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = x,\qquad y_1 = W
\]
einzuführen. Man erhält alsdann:
\[
C_1 = A_1 = B_1 = \mathfrak{B_1} = 0
\]
und $\mathfrak{A_1} = 1$.

Unsere infin. Transformation erhält dabei die Form:
\[
\xi(x,y) \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} + \text{Const. }
\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}} + \cdots
\]
Durch eine Variabelnänderung in den $z$ und $\mathfrak{z}$
erreicht man ausserdem, dass $D = 0$ wird. \hfill S.\qquad\

\item[52.] Anstatt $\mathfrak{A}_x$ und $\mathfrak{B}_y$ dürften
eigentlich $(\mathfrak{A_1})_x$ und $(\mathfrak{B_1})_y$
geschrieben werden etc. \hfill G.~S.\qquad\

\item[53.] Ausser diesen drei Gleichungen muss, um die angedeutete
Reduction zu erhalten noch eine vierte zugefügt werden, nämlich:
\[
\mathfrak{A} \frac{\partial{Y_1}}{\partial{x}} + \mathfrak{B}
\frac{\partial{Y_1}}{\partial{y}} = Y_1.
\]

Wenn man $Y_1$ durch diese Gleichung bestimmt, findet man durch
die erste und letzte Gleichung im Texte, dass
\[
\frac{\partial{X_1}}{\partial{x}} =
\frac{\mathfrak{B}}{Y_1},\qquad \frac{\partial{X_1}}{\partial{y}}
= - \frac{\mathfrak{A}}{Y_1}
\]
und man sieht durch Anwendung der Relation $\mathfrak{A}_x +
\mathfrak{B}_y = 1$ dass dieses System vollständig integrabel ist.

Dass $\Ubarf$ bei dieser Variabelnänderung seine Form
behält, folgt aus den \emph{Leipz.\ Berichte} 1895, Seite 294,
306. \hfill S.\qquad\

\item[54.] Es genügt, die neuen Veränderlichen
\[
x_1 = C(x,y),\qquad y_1 = y,\qquad z_1 = z,\qquad \mathfrak{z_1} =
\mathfrak{z}
\]
einzuführen. Dann wird nämlich

\smallskip

\hfill $C_1 = C = x_1\quad \text{etc.}$\hfill G.~S.\qquad\

\item[55.] Im Manuscripte war die Gleichung nicht vollständig
geschrieben. Wir haben es korrigirt. \hfill G.~S.\qquad\
%-----File: 083.png----------------------------

\item[56.]  Im Manuscripte war $X(x)$ statt $\mu(x)$ geschrieben.
\hfill  S.\qquad\

\item[57.]  Siehe \emph{Mathematische Annalen} B.~XI. \hfill
G.\qquad\

\item[58.]  Siehe \emph{Leipz.\ Berichte} 1895. Seite~294.
\hfill  G.~S.\qquad\

\item[59.]  Siehe \so{Lie-Engel}: \emph{Theorie d.\ Trf.\
Gr.}~III, Seite~681. \hfill G.~S.\qquad\

\item[60.]  Siehe: \emph{Archiv for Mathematik og
Naturvidenskab} Bd.~VIII, S. 384--451. (Infolge einer Mitteilung
von Hr.\ Prof.\ F.~Engel). \hfill
G.~S.\qquad\

\end{itemize}

\fivestar

\section*{Berichtigungen.}
% or \begin{center} \textbf{Berichtigungen.} \end{center}
\begin{itemize}
\item[61.] Statt $\mathfrak{q} za_x$ war im
Manuscript $\mathfrak{qz} a_x$ geschrieben. Wir haben es
corrigirt. % Original: Zu Seite 16, Zeile 3 von unten

\item[62.] Statt $          B  \dfrac{V_y}{V}$
soll $\mathfrak{B} \dfrac{V_y}{V}$ stehen. % Original: Zu Seite 21, Zeile 2 von oben

\item[63.] Im Manuscript war statt Symbole
Definitionsgl.\ geschrieben. % Original: Zu Seite 25, Zeile 5 von unten

\item[64.]  Von Seite~\pageref{anm29} soll die Note~29 ausgehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 4 von oben: An dieser Stelle soll die Note~29 ausgehen
% reworded slightly because, unlike the other Berichtigungen, this one needs a text reference to make any sense

\item[65.] Statt $
\dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$ soll $C
\cdot \dfrac{p\mathfrak{q} - \mathfrak{p}q}{z\mathfrak{z}}$
stehen. % Original: Zu Seite 31, Zeile 11 von oben

\item[66.] Zu den zwei Klammern müssen die
Factoren $  \dfrac{1}{C}$ beziehungsweise $- \dfrac{1}{C}$
zugefügt werden. % Original: Zu Seite 31, Zeile 13 von oben
\end{itemize}

\fivestar

\begin{center}{\scriptsize Trykt den 24de oktober 1902.}\end{center}
\backmatter
\markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}}

{\small
\begin{verbatim}
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Differentialgleichungen, by Sophus Lie

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distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than
"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version
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     the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
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     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
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     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
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     and discontinue all use of and all access to other copies of
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     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
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     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
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LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
DAMAGE.

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written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
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the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
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providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
opportunities to fix the problem.

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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

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warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
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interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
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provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

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trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Über Integralinvarianten und      %
% Differentialgleichungen, by Sophus Lie                                  %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 25157-t.tex or 25157-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/5/1/5/25157/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration ###
@ControlwordReplace = (
  ['\\fivestar', "     \*     \*     \*     \*     \*\n"],
  );
@ControlwordArguments = (
  ['\\anm', 1, 1, '[',')]'],
  ['\\begin\\{satz\\}', 0, [], 'Satz~', '00: '],
  ['\\begin\\{theorem\\}', 0, [], 'Theorem: ', '']
  );
###
This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) (format=pdflatex 2007.10.4)  24 APR 2008 10:13
entering extended mode
**25157-t.tex
(./25157-t.tex
LaTeX2e <2003/12/01>
Babel <v3.8d> and hyphenation patterns for american, french, german, ngerman, b
ahasa, basque, bulgarian, catalan, croatian, czech, danish, dutch, esperanto, e
stonian, finnish, greek, icelandic, irish, italian, latin, magyar, norsk, polis
h, portuges, romanian, russian, serbian, slovak, slovene, spanish, swedish, tur
kish, ukrainian, nohyphenation, loaded.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 74, version
               `2005/09/16' of document class book,
               but only version
               `2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\@emptytoks=\toks14
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks15
\ex@=\dimen103
)) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen104
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count88
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count89
\leftroot@=\count90
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count91
\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen105
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count95
\dspbrk@lvl=\count96
\tag@help=\toks16
\row@=\count97
\column@=\count98
\maxfields@=\count99
\andhelp@=\toks17
\eqnshift@=\dimen106
\alignsep@=\dimen107
\tagshift@=\dimen108
\tagwidth@=\dimen109
\totwidth@=\dimen110
\lineht@=\dimen111
\@envbody=\toks18
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks19
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks20
\SOUL@lasttoken=\toks21
\SOUL@cmds=\toks22
\SOUL@buffer=\toks23
\SOUL@token=\toks24
\SOUL@spaceskip=\skip46
\SOUL@ttwidth=\dimen112
\SOUL@uldp=\dimen113
\SOUL@ulht=\dimen114
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 79, version
               `2006/05/05' of package inputenc,
               but only version
               `2004/02/05 v1.0d Input encoding file'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2004/11/20 v3.8d The Babel package
(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-tetex/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2004/11/20 v3.8d Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen115
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 80, version
               `2005/11/23' of package babel,
               but only version
               `2004/11/20 v3.8d The Babel package'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/wasysym.sty
Package: wasysym 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol support package
\symwasy=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `wasy' in version `bold'
(Font)                  U/wasy/m/n --> U/wasy/b/n on input line 90.
) (/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks25
\footnotemargin=\dimen116
\c@pp@next@reset=\count101
\c@@fnserial=\count102
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 802.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 803.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 804.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 808.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 816.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 825
.
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 82, version
               `2005/03/17' of package footmisc,
               but only version
               `2004/05/02 v5.3c a miscellany of footnote facilities'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/enumitem/enumitem.sty
Package: enumitem 2004/07/19 v1.0 Customized lists
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks26
)
\labelindent=\skip47
\enit@outerparindent=\dimen117
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 84, version
               `2005/05/12' of package enumitem,
               but only version
               `2004/07/19 v1.0 Customized lists'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/ntheorem/ntheorem.sty
Style `ntheorem', Version 1.24 <2004/09/20>
Package: ntheorem 2004/09/20 1.24
\theorem@style=\toks27
\theorem@@style=\toks28
\theorembodyfont=\toks29
\theoremnumbering=\toks30
\theorempreskipamount=\skip48
\theorempostskipamount=\skip49
\theoremindent=\dimen118
\theorem@indent=\dimen119
\theoremheaderfont=\toks31
\theoremseparator=\toks32
\theoremprework=\toks33
\theorempostwork=\toks34
\theoremsymbol=\toks35
\qedsymbol=\toks36
\theoremkeyword=\toks37
\qedsymbol=\toks38
\thm@topsepadd=\skip50
)

LaTeX Warning: You have requested, on input line 85, version
               `2005/07/07' of package ntheorem,
               but only version
               `2004/09/20 1.24'
               is available.

(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/titlesec.sty
Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
\ttl@box=\box28
\beforetitleunit=\skip51
\aftertitleunit=\skip52
\ttl@plus=\dimen120
\ttl@minus=\dimen121
\titlewidth=\dimen122
\titlewidthlast=\dimen123
\titlewidthfirst=\dimen124
)
\c@satz=\count103
\c@theorem=\count104
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/titlesec/block.tss
File: block.tss 2005/01/22
) (./25157-t.aux)
\openout1 = `25157-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 135.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 135.

Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 161--161
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
 it away or[] 
 []


Overfull \hbox (144.62796pt too wide) in paragraph at lines 161--161
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIA
NTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] 
 []

[1


{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [3]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 221.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 221.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+wasy on input line 221.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/wasysym/uwasy.fd
File: uwasy.fd 2003/10/30 v2.0 Wasy-2 symbol font definitions
) [4] [5

] [6

] [1] [2] [3] [4] [5]
Underfull \hbox (badness 1527) in paragraph at lines 557--563
[]\OT1/cmr/m/n/12 In die-ser Ab-hand-lung den-ken wir uns, dass man die In-va-r
i-an-ten
 []

[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 1082.
(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [2
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LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 3955
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(/usr/share/texmf-tetex/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 3955.

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Overfull \hbox (133.13058pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANT
EN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ***[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 25157-pdf.pdf or 25157-pd
f.zip *****[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the
 Foundation[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens
e, apply to[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis
sion.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 research.  They may be modified and printed and given awa
y--you may do[] 
 []

[75

]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin
g this work[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th
e Full Project[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst
and, agree to[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to 
abide by all[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret
urn or destroy[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo
ur possession.[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b
ound by the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It 
may only be[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work 
by people who[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele
ctronic works[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can d
o with Project[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of 
this agreement[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg
-tm electronic[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (
"the Foundation"[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection
 of Project[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual
 works in the[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta
tes and you are[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to 
prevent you from[] 
 []

[76]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating
 derivative[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj
ect Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron
ic works by[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w
ith the terms of[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name 
associated with[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work.  You can easily comply with the terms of this a
greement by[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D.  The copyright laws of the place where you are locat
ed also govern[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work.  Copyright laws in most c
ountries are in[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change.  If you are outside the Unite
d States, check[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist
ributing or[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representatio
ns concerning[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1.  The following sentence, with active links to, or 
other immediate[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app
ear prominently[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor
k on which the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr
ase "Project[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform
ed, viewed,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
 it away or[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is derived[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat
ing that it is[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work
 can be copied[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa
ying any fees[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges.  If you are redistributing or providing acces
s to a work[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap
pearing on the[] 
 []

[77]
Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par
agraphs 1.E.1[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is posted[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and
 distribution[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and 
any additional[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder.  Additional terms 
will be linked[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning
 of this work.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p
art of this[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redi
stribute this[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap
h 1.E.1 with[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form
, including any[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form.  However, if you provi
de access to or[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for
mat other than[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www
.gutenberg.org),[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us
er, provide a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin
g a copy upon[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 form.  Any alternate format must include the full Project
 Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic
 works provided[] 
 []

[78]
Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi
ng the method[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. 
 The fee is[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem
ark, but he[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Roya
lty payments[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns.  Royalty payments should be clearly marked 
as such and[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found
ation at the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d
onations to[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w
ho notifies[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece
ipt that s/he[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full
 refund of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de
fect in the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi
thin 90 days[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []

[79]
Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend
 considerable[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe 
and proofread[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other 
intellectual[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth
er medium, a[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except 
for the "Right[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
 WILL NOT BE[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL
, PUNITIVE OR[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI
LITY OF SUCH[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin
g it, you can[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f
rom.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t
he medium with[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation.  The person or entity that prov
ided you with[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop
y in lieu of a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund.  If you received the work electronically, the per
son or entity[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund.  If 
the second copy[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit
hout further[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4.  Except for the limited right of replacement or re
fund set forth[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' 
WITH NO OTHER[] 
 []

[80]
Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT
 NOT LIMITED TO[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type
s of damages.[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme
nt violates the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem
ent shall be[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation 
permitted by[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law.  The invalidity or unenforceabi
lity of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining 
provisions.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F
oundation, the[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works
 in accordance[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t
he production,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr
onic works,[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin
g legal fees,[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi
ng which you do[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet
ions to any[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet
y of computers[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, is critical to reaching Project Gut
enberg-tm's[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come.  In 2001
, the Project[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov
ide a secure[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future 
generations.[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv
e Foundation[] 
 []

[81]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3.  Information about the Project Gutenberg Liter
ary Archive[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax ide
ntification[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Proje
ct Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a
re scattered[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-
1887, email[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works
 that can be[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by
 the widest[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment.  Many sm
all donations[] 
 []

[82]
Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet
 and keep up[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta
tes where we[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no
 prohibition[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 against accepting unsolicited donations from donors in su
ch states who[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5.  General Information About Project Gutenberg-t
m electronic[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr
eely shared[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5156--5156
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s
earch facility:[] 
 []

[83]
\tf@thm=\write3
\openout3 = `25157-t.thm'.

[84] (./25157-t.aux) ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 2714 strings out of 94500
 32507 string characters out of 1175771
 104965 words of memory out of 1000000
 5834 multiletter control sequences out of 10000+50000
 20266 words of font info for 77 fonts, out of 500000 for 2000
 580 hyphenation exceptions out of 8191
 29i,17n,35p,241b,337s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
PDF statistics:
 351 PDF objects out of 300000
 0 named destinations out of 131072
 1 words of extra memory for PDF output out of 65536
</usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb>
</usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/euler/eufm7.pfb></usr/share/texmf-t
etex/fonts/type1/bluesky/euler/eufm10.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/b
luesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmbxti10.pfb>
</usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/hoekwater/wasy/wasy10.pfb></usr/share/texmf
-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmti10.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bl
uesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></
usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-tetex
/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/
cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/s
hare/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/
type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmti1
2.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texm
f-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bl
uesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></
usr/share/texmf-tetex/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-tetex/
fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb>
Output written on 25157-t.pdf (90 pages, 408357 bytes).
