1. Introdução

Ao escutarmos a palavra “modelo” inevitavelmente logo pensamos na multiplicidade de sentidos em que ela pode ser empregada. A palavra ou termo modelo pode ser utilizada no sentido metafísico, estético, ético, epistemológico adquirindo assim diferentes significados ^[1].

Neste artigo interessa-nos o sentido epistemológico do conceito de modelo, o qual possui uma evolução histórica que nos parece girar em torno de dois sentidos mais usuais: o modelo como uma representação de algo pré-existente de um lado e de um modelo como representação simplificada, abstrata e idealizada da realidade, de outro lado.

Inicialmente, apresentamos alguns aspectos históricos e epistemológicos da noção de modelo na ciência, desde o seu primeiro aparecimento, e por fim algumas considerações entre filósofos da ciência e cientistas quanto aos seus usos e limitações na investigação científica. O espaço temporal escolhido está limitado ao intervalo que vai do final do século XIX ao final do século XX, onde alguns traços da noção de modelo, no corpo das ciências formais (matemática e lógica) e das ciências factuais (física, química, biologia), podem ser percebidos.

Acreditamos que as contribuições sobre a noção de modelo e suas utilizações na ciência seja um assunto central a ser trabalhado entre alunos e professores no ensino de ciências, uma vez que os modelos embora estejam presentes nos materiais de ensino, em formas de objetos tridimensionais, didaticamente transpostos, eles podem fornecer distorções sobre a realidade dos fenômenos que tentam representar. Representações estas que auxiliam a nossa compreensão e razão, mas não devem ser confundidas com a realidade dos objetos em si, da qual muitas vezes são meras simplificações e aproximações. Assim, compete ao professor e aos seus alunos terem presente a noção de modelo como uma representação idealizada da realidade, onde as explicações e previsões geradas são no máximo aproximativas e em certos casos, apenas especulativas. Discussões sobre o processo de transposição didática que se inicia na concepção e construção dos modelos científicos, representações idealizadas ou analógicas da realidade, no crivo da ciência, antes de se tornarem modelos didáticos, tem sido o trabalho de alguns professores que se utilizam da modelização em suas atividades¹.

2. A inserção da noção de modelo na ciência: o modelo mecânico e as analogias em física

A origem etimológica da palavra modelo vem inicialmente do latim modulus que significava “a medida arbitrária utilizada para determinar relatórios de proporção entre as partes de uma obra de arquitetura”. Aparece depois, na idade média, no francês como moule (molde), no inglês como mould e no alemão como mold. Encontra-se também, durante o período Renascentista Italiano, entre os séculos XIV e XVI, modello, que em francês tornava-se modèle, em inglês model e em alemão modell^[5]. Essas transformações da noção de modelo, que antes era utilizada por artesãos, pedreiros e arquitetos aos poucos foram sendo incorporadas à área científica, com uma consequente adaptação de seus significados, como será visto a seguir.

Há indícios de que apenas em meados do século XIX a noção de modelo surge no debate científico. Embora seu uso seja um pouco anterior, remontando ao século XVIII, quando era utilizado pelos astrônomos como sinônimo de sistema ^{[6] [7]}. Entretanto, sua entrada enquanto elemento epistemológico deu-se um pouco mais tarde. Falar sobre modelos em física antes de 1860, em matemática antes de 1900 e em ciências sociais antes de 1920 seria cometer uma espécie de anacronismo de vocabulário, já que “nem Pascal, nem Descartes, nem Newton, nem Laplace falam de modelização para descrever o que eles fazem” [⁵, p.93].

É com Suzanne Bachellard (1983) que se deu o resgate do que pode ser a origem da noção de modelo no debate científico, ao mencionar um artigo publicado pelo físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann (1844 – 1906) em 1902, na décima segunda edição da enciclopédia britânica, intitulado “Model” ^{[5] [6] [8]}. Partindo inicialmente das áreas artísticas e técnicas, a noção de modelo emerge na investigação científica e no corpo das ciências físicas, mecânicas e matemáticas como “representação tangível [...] de um objeto que tem uma existência real ou é uma construção factual ou mental” [⁵, p.94]:

“Há muito tempo os filósofos perceberam a essência do nosso processo de pensamento no fato de que nós ligamos aos objetos reais em torno de nós atributos físicos particulares - nossos conceitos - e por meio desses tentamos sinalizar esses objetos ao nosso espírito. Tais opiniões foram no passado consideradas por matemáticos e físicos, como nada mais do que especulações inférteis, mas elas foram recentemente intimamente associadas por Maxwell, Helmholtz, Mach, Hertz, e muitos outros ao corpo inteiro da teoria matemática e física. De acordo com estes pontos de vista, nossos pensamentos estão para as coisas na mesma relação que os modelos estão para os objetos que eles representam. A essência do processo é a fixação de um conceito com um conteúdo definido para cada coisa, mas sem implicar numa completa semelhança entre coisa e pensamento; pois naturalmente não sabemos quase nada sobre a semelhança entre nossas ideias e as coisas às quais nós as ligamos. O que é essa semelhança repousa principalmente sobre a natureza da ligação, a correlação sendo análoga aquela que obtemos entre pensamento e linguagem, entre linguagem e escrita, entre sons musicais e notas sobre a pauta, etc.” (Boltzmann, 1902, grifo nosso).

De fato, esta parecia ser a noção predominante na investigação científica entre a metade final do século XIX e o início do século XX; é o denominado “modelo mecânico”, entendido como representações de objetos reais (concretos) ou mentais (abstratos) para a compreensão dos fenômenos naturais ou físicos ^{[5] [6]}. Comenta-se que essa acepção de modelo estava presente em muitos dos trabalhos de Boltzmann, nos quais as propriedades macroscópicas da matéria eram compreendidas através de suas propriedades microscópicas com auxílio de conceitos da mecânica: “esta sua predileção por modelos mecânicos, que inclusive o aproximou de Maxwell, foi a espinha dorsal do seu modus operandi e colocou-o posteriormente em rota de colisão com grandes cientistas da sua época”^{[9] 2}.

O desenvolvimento desse tipo de modelo no ambiente experimental dos laboratórios, relacionando objetos reais (maquetes de madeira, metal ou papelão) e objetos mentais (equações matemáticas) para o estudo do movimento dos gases, dos elétrons, entre outros, ocorria geralmente através do emprego das analogias. Boltzmann valia-se ao mesmo tempo de um “transporte analógico e de um suporte matemático que permite identificar a analogia estrutural [ou substancial] e de automatizar este transporte. Temos ai uma condição forte da noção de modelo, conceito que a distingue de uma simples matematização” [⁵, p.95].

Ao contrário de alguns cientistas de sua época que apresentavam uma preocupação lógica quase que obsessiva na constituição de seus modelos, Boltzmann via uma “continuidade entre os modelos materiais e os modelos matemáticos” [⁵, p.95], embora sua atenção estivesse realmente dirigida ao nível conceitual dessas formas de representação.

Essa relação de transporte analógico entre modelos materiais (maquetes) e modelos matemáticos (equações) como auxiliares na construção de algumas teorias físicas era também empregada de modo semelhante pelo físico e matemático James Clerk Maxwell (1831-1879)³ o qual fazia o uso de dois tipos gerais de analogias. Trata-se das analogias substanciais e das analogias formais.

“Nas analogias do primeiro tipo [ou substanciais], supõe-se que um sistema de elementos que possui certas propriedades já conhecidas, que se supõe estarem relacionadas das maneiras conhecidas como enunciadas em um conjunto de leis do sistema, é um modelo para a construção de uma teoria em relação a um segundo sistema. No segundo ou no tipo formal de analogia, o sistema que serve de modelo para construir uma teoria é alguma estrutura conhecida de relações abstratas, em vez de ser, como nas analogias substantivas, um conjunto de elementos mais ou menos visualizáveis que se correlacionam mutuamente em relações conhecidas” ^[11].

Um exemplo de analogias substanciais pode ser encontrado na teoria cinética dos gases, onde as moléculas seriam representadas por pequenas esferas rígidas em permanente movimento caótico. Para as analogias formais a nova noção de massa que emerge da teoria da relatividade é um exemplo de como o formalismo matemático da mecânica clássica foi usado como modelo para a ereção de uma nova teoria.

As analogias substanciais teriam na ciência, segundo Hempel [¹¹, p.212] um valor heurístico ou didático, permitindo a busca de uma similaridade entre coisas, elementos, objetos distintos ao nível do material (do concreto, do tangível) enquanto as analogias formais, segundo Dutra [¹¹, p.212] estariam mais bem relacionadas a uma similaridade ao nível do conceitual (do abstrato, do intangível).

Segundo o econometrista Michel Armatte [⁵, p. 96-7] por algum tempo viu-se o domínio das analogias no desenvolvimento dos modelos mecânicos (científicos) para a constituição das teorias em física, em especial nas primeiras duas décadas do século XX, onde elas tomaram uma “posição central e irreversível [...]”, em especial as analogias do tipo formal (essencialmente matemáticas) que, a partir de 1920, passariam a caracterizar os modelos da lógica matemática⁴.

3. A noção de modelo em lógica matemática: abordagem semântica

Uma nova noção de modelo científico começa a se desenvolver em meados de 1920 e se estenderá até por volta de 1970; essa noção renovada nutre-se predominantemente da abordagem semântica, no interior da lógica matemática ^[13].

Em um breve resgate histórico, os econometristas aludem aos vários acontecimentos que se sucederam até o seu primeiro desenvolvimento. Seus traços são oriundos da tentativa de matemáticos, lógicos e filósofos em criar uma base unitária, segura e precisa, inicialmente, para as matemáticas: geometria, álgebra, análise, aritmética que estariam entre o primeiro quarto do século XIX e início do século XX com problemas internos em seus fundamentos. E, posteriormente, essa base seria estendida para toda a ciência em desenvolvimento⁵.

Segundo o filósofo da ciência Luiz Henrique de Araújo Dutra ^{[11] [15]} alguns cientistas e filósofos da ciência que defendem a abordagem semântica (entre eles, Frederick Suppe, 1977 e Bas van Frassen, 1980) sustentam que as teorias científicas devem ser interpretadas como “coleções ou famílias de modelos”. Para Van Frassen, essas coleções ou famílias de modelos são basicamente representações de objetos matemáticos também denominados por ele de “semânticos” ou “metamatemáticos”, usualmente “[...] utilizados pelos lógicos na interpretação, por exemplo, de linguagens de primeira ordem” [...], o que se costuma denominar de modelo matemático” [¹¹, p.205]. O modelo matemático na abordagem semântica é utilizado pelos lógicos para julgar se os teoremas que emergem de uma determinada teoria são verdadeiros ou falsos, aponta. Estes cientístas e filósofos da ciência, de modo geral (exceto Van Frassem) fazem uso de uma estrutura formal oriunda da teoria dos conjuntos:

“Trata-se, neste caso, de uma estrutura composta do par ordenado <U, I > , sendo que U é uma coleção de indivíduos dos quais falamos, e I é uma função interpretação, que dá nomes aos indivíduos de U, e especifica a extensão dos predicados e relações pertencentes à linguagem de primeira ordem na qual a teoria é formulada, tal como o tema é explicado nos livros de lógica elementar” [¹¹, p. 215].

Essa noção de modelo semântico, formalizada e logicisada, assume uma posição central na lógica matemática, permitindo importantes avanços na própria matemática e em outros campos do conhecimento (especialmente nas engenharias) estendendo-se até meados de 1970, ocasião em que, a partir da cada vez extensa utilização dos computadores e da informática, essa forma de modelagem (ou modelização) passa a perder seu espaço para a simulação ^[13].

4. Os modelos no pós-guerra: modelo matemático, objetos-modelo e modelo teórico

O emprego da linguagem matemática em várias áreas do conhecimento adquiriu sua hegemonia numa época em que os homens gostariam de não mais recordar. Foi com o advento da Segunda Guerra mundial que, de acordo com o filósofo da ciência Mário Bunge, o desenvolvimento de pesquisas em inúmeras áreas do conhecimento não-físico (psicologia, sociologia, medicina, economia, entre outras) passou a se dar através da construção de metodologias e teorias por meio da utilização dos modelos matemáticos ^[12]. Isso levou o autor afirmar que:

“[a] ciência contemporânea não é apenas experiência planificada, executada e entendida a luz de teorias. Tais teorias apresentam-se muitas vezes envoltas em linguagem matemática: toda teoria especifica é, na verdade, um modelo matemático de um pedaço da realidade” [¹², p.10].

Foi neste período tenso da história da humanidade que muitos matemáticos de países sob a tutela da Alemanha foram expatriados; muitos deles acabaram aportando na América, em especial nos Estados Unidos ^[16] onde se encontraram com outros matemáticos, físicos, biólogos, engenheiros, psicólogos, e outros profissionais, originando-se daí um grande número de grupos de pesquisa universitária com tendência interdisciplinar, muitos deles a serviço das indústrias e do desenvolvimento militar norte Americano ^{[12] [5]}.

A partir desse momento se deu um grande avanço no desenvolvimento de novas áreas da matemática, principalmente no setor da matemática aplicada, entre elas, “A álgebra dos grupos, a teoria dos jogos, teoria das preferências, a programação linear, a programação dinâmica, a teoria dos grafos, os testes sequenciais [...]” [⁵, p.112], o que permitiu de igual modo, o nascimento de outras disciplinas e muitas outras teorias, entre elas: “a teoria geral dos sistemas, a cibernética, a teoria da informação, [...] a sociologia matemática [...] a lingüística matemática [...] a biologia matemática e a psicologia matemática” [¹², p.12].

As matemáticas aplicadas se caracterizam então pela aplicação dos objetos matemáticos ao estudo e desenvolvimento de outras áreas do conhecimento, sejam elas de ciência básica, tecnológicas ou industriais. Elas geralmente fazem uso de um processo chamado de modelagem matemática que “transforma uma situação/questão escrita na linguagem corrente e/ou proposta pela realidade, em linguagem simbólica da matemática [...]”^[17]. Essa linguagem simbólica e todas as suas relações possíveis constituem-se nos modelos matemáticos ^[18] utilizados para descrever e explicar essa situação ou questão. No entanto, é preciso ter claro que nem todo modelo matemático deve ser entendido como modelo no sentido semântico da lógica matemática, isto é, nem todo o modelo matemático está atrelado a um sistema formal conjuntista - tal como apresentado anteriormente.

O emprego dos modelos matemáticos para a resolução dos problemas científicos e para a construção das teorias científicas surgiu como uma forma de trazer mais precisão e clareza para muitas teorias de outras áreas que faziam uso quase que exclusivo da estatística nesse empreendimento, procurando mais a acumulação de dados ou fatos do que realmente buscando a sua compreensão ^[12].

Essa “revolução científica” ocorrida a partir de 1950, não implicou numa “[...] substituição de uma teoria científica por outra [é muito mais] o esforço de teorização em campos até então não-teóricos” [¹², p.13]. Tratou-se do uso de uma nova metodologia que há muito tempo fora monopolizada pela física e que passa agora a ser aplicada a outros ramos da ciência. Nessa nova abordagem predomina o método hipotético-dedutivo⁶, e suas características mais marcantes são os “objetos-modelo” e os “modelos teóricos” (esses últimos também denominados por Bunge de “teorias específicas”).

5. Os modelos a partir de 1980: os computadores nas simulações de sistemas complexos

Conforme vimos, a partir dos primeiros trabalhos em lógica matemática, desde 1920 a 1970, todas as noções de modelo na ciência estavam bastante ligadas à “concepção de um modelo que ‘representa’ um real capturado ao mesmo tempo por uma teoria e por uma observação quantificada” [¹³, p.244]. De um modelo que servia como instrumento de validação empírica de uma teoria. No entanto, essa concepção a partir de 1980 em algumas áreas da ciência como nas engenharias e na pesquisa operacional não se faz mais de forma predominante⁸.

Devido à complexidade dos objetos estudados por essas áreas, e as inúmeras variáveis envolvidas, como por exemplo, os problemas da climatologia na previsão do tempo, os novos desafios em medicina, problemas em economia, problemas em logística, em meio ambiente, entre outros, vê-se a ausência de uma teoria completa que dê sustentação para a apreensão da realidade; surge deste modo a necessidade do desenvolvimento de novas teorias e de novos instrumentos. É nesse sentido que se identifica uma nova abordagem de modelo na ciência, ligada ao uso dos computadores nas simulações ^[5]:

“O modelo torna-se um mecanismo de integração de dados produzidos por um sistema de informação. O modelo, conjuntos de equações, conversões, de dados que se transformaram em um software, constitui um sistema de substituição ao sistema real, do qual não se tem teoria completa, e que permite fazer experiências fictícias, para compreender o jogo complexo das suas interações. E estas experiências fictícias constituem efetivamente uma metodologia de substituição, em relação ao método hipotético-dedutivo assim como em relação ao método experimental, no caso dos sistemas complexos” [⁵, p.113].

A partir da segunda guerra mundial o computador deixa de ser uma simples máquina de calcular e passa a desempenhar o papel de uma máquina de reunir uma grande densidade de dados e teorias, tratando de um vasto número de informações que até então eram intratáveis de outra maneira ^[5]; de forma semelhante, ele nem sempre exerce o papel de intermediário entre teoria e dados empíricos, deixando também de se basear apenas em um sistema formal (aquele empregado em lógica matemática) em busca da delimitação de um sistema físico ou social: “[...] o modelo não é mais apenas uma estrutura matemática que representa uma teoria, ele torna-se uma dupla representação parcial e orientada (pelo objetivo que se tem e pelo estado do sistema de observação e de medida) [...]” [⁵, p.112-113].

Busca-se a partir de então, através da simulação por software, antecipar o comportamento dos fenômenos para poder inferir sobre eles. Trata-se de uma técnica bastante empregada na pesquisa operacional que reside no “uso do computador para imitar (simular) a operação de um processo ou sistema por inteiro” antes mesmo de testar a sua validade no mundo real ^[23]. As simulações, imitações ou experiências fictícias são formas de perceber ou inventar uma realidade (ou as supostas realidades) difícil de ser interpretada e conhecida; as técnicas para isso vão desde a “análise de risco em processos financeiros” até ao desenvolvimento de simuladores de vôo para “imitar o desempenho de um avião de verdade em um ambiente controlado” [²³, p.1]. Nestes novos métodos de modelagem ou modelização um sistema parece deixar de ser considerado como conjunto de elementos em interação para passar a ser visto como um conjunto complexo de elementos em interação, um “sistema complexo”.

Nesse breve cenário histórico e epistemológico tentamos apresentar alguns pontos de vista de filósofos da ciência, cientistas e pesquisadores a respeito da noção de modelo científico nas ciências formais e factuais. Embora seja um cenário preliminar e incipiente, o qual não nos permite retirar todas as consequências históricas e filosóficas possíveis, vamos nos ater a algumas conclusões mais gerais sobre o conceito de modelo e sobre as possíveis relações entre os modelos e as teorias.

6. O que é modelo, afinal?

Inicialmente, pode-se dizer que teorias, necessariamente, produzem afirmações, passíveis de confirmação ou falseamento. Duhem, já em 1914 ^[24], asseverava que as teorias poderiam ser caracterizadas por quatro operações sucessivas: 1- a determinação quantitativa das grandezas pertinentes, 2- a escolha judiciosa das hipóteses, 3- o desenvolvimento lógico – dedutivo dessas hipóteses e 4- confrontações das previsões da teoria com a experiência. Numa acepção um tanto mais moderna, pode-se estipular que teorias científicas contém axiomas, teoremas, demonstrações e definições. Mas é importante pontuar que o conteúdo dessas teorias é necessariamente conexo, uma teoria merece justamente esse nome por configurar um todo estruturado e articulado, e na consecução de tal fim é feito o uso de uma linguagem que não encontra necessariamente contrapartida na observação direta. Nesse sentido, Rosenberg ^[25] postula que “[uma] teoria é um conjunto de hipóteses que alegam que conjuntos particulares de coisas no mundo são satisfeitos em diversos graus por um conjunto de modelos que refletem alguma similaridade ou unidade.”

Retomando então a posição anterior, (modelos são bons ou maus dependendo das teorias específicas que carregam) é possível olharmos para outra direção, conforme já haviam sugerido os precursores da inteligência artificial, Simon e Newell ^[26] e considerar que as teorias científicas também cometem os mesmos pecados. Isto é, uma teoria científica, entendida como um “conjunto de afirmações ou sentenças declarativas” sejam elas matemáticas ou verbais que visam expressar através do seu conteúdo lógico a verdade sobre os fenômenos, pecam por erros de “omissão” e de “comissão”. Nos erros do primeiro tipo as teorias não falam toda a verdade sobre a realidade dos fenômenos, elas sempre omitem alguma coisa; nas do segundo tipo, da mesma forma, elas dizem coisas que não encontram contrapartida nessa realidade, elas pecam por excesso:

“A mais conspícua inadequação das teorias é que elas não contam toda a verdade; elas possuem um conteúdo muito menor que o dos fenômenos. Emprestando um termo da estatística, podemos chamar esses erros de omissão de “erros do tipo I”. Mas penso que pode ser mostrado que praticamente todas as teorias erram também na outra direção – elas dizem coisas que não são, como também falham em dizer coisas que são. Podemos chamar esses erros de comissão de “erros do tipo II”. Na medida em que as teorias cometem erros do tipo II - afirmando algumas coisas além da verdade – elas possuem, por certo, um conteúdo total maior que o dos fenômenos” [²⁶, p.68].

Os cientistas ^[26] entendem que as teorias científicas são compostas por um “conteúdo lógico” e um “conteúdo psicológico”. Por conteúdo lógico eles se referem “aos fatos que podem ser extraídos dela [da teoria] através da aplicação das leis da lógica”. E por conteúdo psicológico, “as proposições empíricas que o cientista é de fato capaz de derivar dela” [²⁶, p. 68-9]. Ambos os conteúdos são de grande valor para o cientista, porém o conteúdo psicológico é o que pode lhe dar acesso às afirmações da teoria em relação aos fatos⁹. E, percebendo que as teorias científicas não dizem toda a verdade sobre os fenômenos, os autores completam exortando os cientistas a sempre procurar detectar e evitar erros de omissão e comissão.

Para finalizar, a pergunta que nos cabe fazer então: por que os cientistas não abrem mão dos modelos em suas atividades?

Uma resposta surpreendentemente pertinente pode ser a seguinte: simplesmente por que os modelos, de modo geral, permitem um acesso ao conteúdo psicológico da teoria! Outra resposta cabível: os modelos enquanto idealizações da realidade podem ser entendidos como potentes formas de representação do conhecimento. Ainda nessa mesma perspectiva, e concordando com Suzanne Bachelard (1983) [⁶, p.3] diríamos ainda: “O modelo é um intermediário a quem delegamos a função de conhecimento”, ou seja, ele é um instrumento que nos permite conhecer algo da realidade. Ou ainda, “[...] muitas vezes são construídos modelos porque a teoria completa [ou geral] seria algo muito complexo com o que trabalhar; assim, são introduzidas idealizações que permitem ao cientista produzir resultados significativos com recursos limitados”^[27]. Nesse sentido, são os modelos que permitem inferir diretamente sobre os fenômenos e assim testar a plausibilidade, a veracidade da teoria geral em relação à realidade.

Os modelos científicos, enquanto simplificações e idealizações da realidade, são verdadeiras criações do pensamento, e como tal são necessariamente instrumentos falhos numa certa medida, são recursivos, são de fato meios para o conhecimento e embora não seja possível ficar sem eles, também não é desejável a eles se submeter de forma irrestrita ^[5].

Parece-nos, por fim, interessante fazer a seguinte reflexão: na educação básica o conceito de modelo tem sido objeto de estudo? A relação entre os modelos científicos e os modelos didáticos bem como as suas relações com as teorias é conhecida pelos alunos? Os paradigmas nos quais os modelos estão servidos, a realidade que se procura conhecer são apenas alguns exemplos de questões importantes que poderiam estar no foco das investigações em sala de aula.

Acreditamos que as contribuições sobre a noção de modelo aqui expostas e suas utilizações na ciência são de fundamental importância e poderiam ser mais bem explorados na escola. Algumas experiências práticas de modelização ^{[2] [3] [4]} vem tentando demonstrar essa transposição dos modelos científicos (mais complexos pelo seu conteúdo lógico) para os modelos didáticos, que por sua vez aparecem como representações com um menor nível de abstração, com uma linguagem mais comum, mais próxima da linguagem dos alunos. O modelo didático surge então como resultado da transposição didática dos modelos científicos os quais tentam representar uma parcela lógica da realidade em estudo. Resumidamente o modelo didático se coloca a representar de forma psicológica a parte lógica dos modelos científicos. Seu papel vai além de representar alguns aspectos dos fatos ou fenômenos em estudo, ele também visa oportunizar um aproximado conhecimento da realidade.